Прежде чем начинать изучать абстрактную алгебру, давайте зададимся вопросом: что роднит известные нам хорошие алгебраические структуры? Что общего между целыми числами, перестановками, изометриями плоскости, отображениями и поворотами фигур? Во всех этих, казалось бы, абсолютно разных случаях мы имеем некоторый набор объектов и правило их комбинирования (например сложение чисел, композиция функций). Каждую операцию комбинирования мы можем обратить, а ещё во всех случаях есть нейтральный элемент.

И на этом моменте мы начинаем задумываться над абстракцией нового уровня — группе, которая является замкнутой системой с обратимой операцией. Точно так же, как число $3$ описывает все возможные тройки объектов, без привязки к их природе (три банана или три машины), группа является абстракцией для объектов и их комбинированием.

Понятие группы не возникло из абстрактных умствований — оно родилось из конкретных математических задач, казавшихся на первый взгляд не связанными между собой. В XIX веке математики столкнулись с необходимостью понять, почему одни алгебраические уравнения разрешимы в радикалах, а другие — нет. Эварист Галуа, анализируя корни многочленов, обнаружил, что ключевую роль играет не природа самих корней, а симметрии, которые их переставляют. Эти симметрии образуют замкнутую систему: их можно компоновать, есть «ничего не делающая» симметрия (тождественная перестановка), и каждую симметрию можно «отменить» обратной.

Почти одновременно геометры изучали симметрии фигур — повороты, отражения, параллельные переносы. Оказалось, что и здесь действуют те же принципы: композиция изометрий остаётся изометрией, существует тождественное преобразование, и у каждой изометрии есть обратная. В теории чисел давно были известны обратимые операции — например, сложение целых чисел или умножение обратимых вычетов по модулю. И вновь: замкнутость, ассоциативность, нейтральный элемент, обратимость.

Постепенно стало ясно: за разными областями — алгеброй, геометрией, теорией чисел — стоит единая структура. Абстрагируя от конкретной природы объектов и операций, математики выделили суть: множество с обратимой ассоциативной операцией и нейтральным элементом. Так родилось понятие группы — алгебраической абстракции, описывающей любую систему с «структурированной обратимостью». Группа стала универсальным языком для описания симметрии, инвариантности и обратимых преобразований во всей математике и за её пределами.

Отдельного внимания заслуживает самая маленькая группа — группа $\1 \defeq \{\1\}$. Какая бы ни была операция задана на этом множестве, это множество будет являться группой по этой операции. Такая группа называется вырожденной.

Обращаю внимание на то, что в определении группы не фигурирует свойство коммутативности!

У элементов групп есть много базовых свойств, которые просто необходимо знать наизусть. Я их просто приведу. Доказываются они элементарно

Левое и правое сокращения. Пусть для каких-то трёх элементов $a, b, c \in G$ выполняется равенство $a * b = a * c$. Умножив обе части равенства слева на $a^-1$, мы получим, что

Аналогичные действия можно проделать и с равенством $b * a = c * a$, убрав одинаковый множитель $a$ уже справа. Итак, мы получили два правила, называемых левым и правым сокращениями

Обратное произведения. Давайте найдём обратный элемент для элемента $a * b$. Нам нужно сконструировать такой объект, который бы при умножении на $a * b$ давал бы $\1$. Этот объект $b^{-1} * a^{-1}$. Действительно,

Аналогично получаем и при умножении с другой стороны

Итак, мы получили формулу, которая позволяет нам вычислять обратное для произведения

Давайте не отходя от кассы разберём много примеров групп.

Числовые группы. Самые первые объекты, с которыми сталкивается любой человек — числа. Над числами есть обычные арифметические операции. И эти операции удовлетворяют свойствам операции в группах.

$\ZZ$, $\QQ$, $\RR$ по сложению: нейтральный элемент $0$

$\ZZ_n$ по сложению: нейтральный элемент $[0]$

$\CC \without {0}$ по умножению: нейтральный элемент $1$.

Отношение «являться подгруппой» является отношением частичного порядка на группах. То есть это отношение

Понятно, что количество подгрупп у группы зависит от структуры операции в самой группе.

В любом случае у абсолютно любой невырожденной группы $G$ есть как минимум две подгруппы: $\1$ и $G$. Группа, у которой нет никаких других подгрупп, кроме двух, называется простой по аналогии с простыми числами.

Разберём парочку важный свойств подгрупп, которые покажут нам, как их можно комбинировать, а как нельзя.

Пересечение подгрупп тоже подгруппа. Если $H_1, H_2 \subgroup G$, то и $H_1 \sect H_2 \subgroup G$. Рассмотрим произвольные элементы $x, y \in H_1 \sect H_2$, Раз они оба лежат в $H_1$, то и $x * y \in H_1$. А ещё они оба лежат в $H_2$, тогда и $x * y \in H_2$. Значит, $x * y \in H_1 \sect H_2$. Замкнутость относительно взятия обратного проверяется аналогично. С нейтральным элементом тоже также: $\1 \in H_1$ и $\1 \in H_2$, а значит $\1 \in H_1 \sect H_2$.

Объединение подгрупп НЕ является подгруппой. Контрпримеры лежат на каждом углу. Возьмём хотя бы $G = \ZZ_2 \times \ZZ_2$. Пусть $H_1 = \ZZ_2 \times \{0\}$ и $\{0\} \times \ZZ_2$. Их объединение $H_1 \union H_2 = \bigl\{ (0, 0),~ (0, 1),~ (1, 0) \bigr\}$ не является группой, потому что $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) \notin H_1 \union H_2$.

Отдельного внимания заслуживают подгруппы, которые были порождены одним элементом. Про порождение произвольными элементами мы поговорим попозже, а сейчас рассмотрим только базовый случай.

Пусть у нас есть какая-то группа $G$ по операции $*$. Давайте возьмём какой-то элемент $g \in G$. Посмотрим на множество всех его степеней

Если группа $G$ конечна, то и множество $\langle g \rangle$ должно быть конечно. Если группа $G$ бесконечна, то множество $\langle g \rangle$ может быть как конечным, так и бесконечным.

Давайте возьмём два элемента этого множества $g^k, g^m \in \langle g \rangle$ и перемножим их в группе $G$. Получим $g^k * g^m = g^{k+m}$, и это, внезапно, тоже элемент множества $\langle g \rangle$. Понятно, что $\1 = g^0 \in \langle g \rangle$ и для любого элемента $g^k \in \langle g \rangle$ мы можем найти обратный $g^{-k} \in \langle g \rangle$. Короче, у нас получилось, что $\langle g \rangle$ это тоже группа.

Давайте поймём, какую структуру имеет подгруппа $\langle g \rangle \subgroup G$. Разберём два принципиально разных случая.

Первый случай: циклическая подгруппа $\langle g \rangle$ кончена, и $\ord g = n$. Давайте построим отображение $\psi \colon \ZZ_n \to \langle g \rangle$, заданное правилом $n \mapsto g^n$. Понятно, что это взаимно однозначное соответствие, а ещё это отображение сохраняет групповую операцию: $\psi(k+m) = g^{k+m} = g^k * g^m = \psi(k) * \psi(m)$, а значит $\psi$ является изоморфизмом.

Второй случай: циклическая подгруппа $\langle g \rangle$ бесконечна, порядок элемента $g$ бесконечен, то есть равенство $g^n = \1$ выполняется только при $n = 0$. В этом случае все степени $g^n$ различны: если бы вдруг оказалось, что $g^k = g^m$ при $k \neq m$, то $g^{k - m} = \1$, и порядок $g$ был бы конечным — противоречие.

Рассмотрим такое же отображение $\psi \colon \ZZ \to \langle g \rangle$, заданное правилом $\psi(n) = g^n$. По тем же самым соображениям, что и в первом случае, отображение $\psi$ биективно, а так же это отображение сохраняет групповую операцию. А значит, $\psi$ опять является изоморфизмом.

Таким образом, любая циклическая подгруппа, порождённая элементом конечного порядка, изоморфна аддитивной группе остатков $\ZZ_n$, и любая циклическая подгруппа, порождённая элементом бесконечного порядка, изоморфна аддитивной группе целых чисел $\ZZ$

Давайте теперь с нового ракурса посмотрим на циклические подгруппы и разберём одну задачу, которая даёт чуть больше интуиции в понимании циклических подгрупп.

Пусть $G = \C_n = \langle g \rangle$. Давайте поймем, как выглядит какая-то подгруппа $H \subgroup \C_n$.

Запишем все элементы подгруппы $H = \{g^{k_1}, g^{k_2}, \dotsc\}$. Выберем число $k = \gcd(k_1, k_2, \dotsc)$ и посмотрим на элемент $g^k$. По теореме о представлении наибольшего общего делителя $k = m_1 \, k_1 + m_2 \, k_2 + \dotsb$, а значит

Получается, что $\langle g^k \rangle \subgroup H$. С другой стороны, раз $k$ является наибольшим общим делителем чисел $k_1, k_2, \dotsc$, значит каждое число $k_j$ можно представить в виде $k_j = d_j \, k$, а значит $g^{k_j} \in \langle g^k \rangle$ для любого $j$, то есть $H \subgroup \langle g^k \rangle$.

Мы получили, что для любой подгруппы $H \subgroup \C_n$ выполняется равенство $H = \langle g^k \rangle$ для некоторого $k$.

Мы поняли, что любая подгруппа циклической группы тоже является циклической. Давайте посмотрим на подгруппу $H \subgroup \C_n$ порядка $k$. Мы знаем, что $H = \langle g^l \rangle$. Можно без ограничений общности считать, что $l$ — минимально возможная степень среди всех возможных порождающих группы $H$.

Рассмотрим $r = \gcd(n, l)$. Из линейности представления наибольшего общего делителя $r = m_1 \, n + m_2 \, l$ получаем, что $g^r = g^{m_1 n} * g^{m_2 l} = \1 * g^{m_2 l} = g^{m_2 l} \in H$. Поскольку $r \divides l$, а значит элемент $g^l$ выражается через $g^r$, а значит $g^r$ тоже является порождающим элементом для $H$. В силу минимальности выбора $l$ получаем, что $r = l$, другими словами, для некоторого $m$

Получается, что грппа $H$ состоит из $m$ элементов: $H = \{\1, g^l, g^{2l}, g^{3l}, \dotsc, g^{(m-2) \cdot l}, g^{(m-1) \cdot l}\}$. А значит $m = k$, и $l = n/k$, то есть $H = \langle g^{n/k} \rangle$.

Подытожим: любая подгруппа циклической группы $\C_n = \langle g \rangle$ является циклической, при этом существует ровно одна подгруппа с заданным порядком $k$, а именно, это подгруппа $\langle g^{n/k} \rangle$.

Резюмируя, получаем, что структура подгрупп конечной циклической группы совпадает со структурой делителей порядка группы, причем каждому делителя соответствует в точности одна подгруппа. Вообще, это большой подарок судьбы, обычно для произвольной группы структура подгрупп очень сложная.

Давайте немножко отвлечёмся и поговорим про структуру абелевых групп. Подробно эту тему мы затронем позже, но сейчас важно сделать акцент на подгруппах и на том, как они задают структуру группы.

Давайте рассмотрим идеёное решение упражнения про подгруппы $\QQ$. Возьмём подгруппу

Рассмотрим число $n = \lcm(n_1, n_2, \dotsc, n_k)$. Тогда наша подгруппа $H \subgroup \langle 1/n \rangle$, а значит $H \isom \C_k$. То есть любая подгруппа группы $\QQ$ циклическая.

Более того, мы сейчас явно показали, что в группах $\ZZ$ и $\QQ$ одинаковые конечно-порождённые подгруппы, ведь каждая такая группа является циклической подгруппой в обоих группах. Но при этом $\ZZ \nisom \QQ$. Можно, конечно, явно доказывать, что изоморфизм построить нельзя, а можно пойти простым путём и предъявить какой-то различающий инвариант. Например, подойдет разрешимость уравнения $x + x = y$. В группе $\QQ$ это уравнение разрешимо, то есть для любого элемента $y \in \QQ$ всегда найдётся такой элемент $x \in \QQ$, что $x + x = y$. А вот в группе $\ZZ$ это уравнение неразрешимо.

Вообще, разрешимость уравнений является довольно мощным инструментам, которого в классических курсах почему-то обходят стороной. Давайте еще чуть-чуть поговорим про методы установления изоморфизмов. ???

Изоморфны ли группы $\QQ$ — множество $\QQ$ с операцией сложения и группа $\QQ^\times$ — множество $\QQ\without \{0\}$ с операцией умножения? Нет, ведь в группе $\QQ$ уравнение $x + x = y$ разрешимо по $x$ для всех $y \in \QQ$, а в группе $\QQ^\times$ уравнение $x \cdot x = y$ неразрешимо по $x$, например, при $y=2$ решения нет.

Ещё один пример. Рассмотрим расширение целых чисел $\ZZ[1/n] \defeq \{ m/n^k \mid \forall\, m, k \in \ZZ \}$. Это группа по операции сложения. Эта группа очень похожа на группу $\QQ$. Изоморфна ли она ей? Группа $\ZZ[1/n]$ допускает деление на $n$, но не допускает деления на $n+1$, то есть уравнение $(n+1) \cdot x = 1$ в группе $\ZZ[1/n]$ неразрешимо по $x$. Значит, $\ZZ[1/n] \nisom \QQ$. По тем же самым соображениям $\ZZ[1/2] \nisom \ZZ[1/3]$.

Вот мы и добрались до обещанного порождения, частным случаем которого является конструирование циклических подгрупп.

Пусть у нас есть какая-то группа $G$ по операции $*$. Давайте возьмём $k$ элементов этой группы $g_1, g_2, \dotsc, g_k \in G$ и посмотрим на множество всех элементов, которые можно составить из этого набора

Это множество является подгруппой группы $G$. Давайте это проверим.

Операция $*$ является ассоциативной как групповая операция в группе $G$. Нейтральный элемент $\1$ присутствует в $\langle g_1, g_2, \dotsc, g_k \rangle$ по построению. Множество замкнуто относительно групповой операции: если взять два произведения элементов из набора $g_1, g_2, \dotsc, g_k$ и перемножить их, то получится снова конечное произведение элементов из этого набора, то есть элемент того же вида. Ну и для любого элемента $x = g_{j_1}^{\alpha_1} * g_{j_2}^{\alpha_2} * \dotsb * g_{j_k}^{\alpha_k}$, обратный элемент $x^{-1} = g_{j_k}^{-\alpha_k} * \dotsb * g_{j_2}^{-\alpha_2} * g_{j_1}^{-\alpha_1}$, тоже представлен как произведение элементов из набора $g_1, g_2, \dotsc, g_k$.

Обозначим через $G(S)$ наименьшую по включению подгруппу группы $G$, содержащую множество $S = \{ g_1, g_2, \dotsc, g_k \}$.

Мы уже проверили, что $\langle g_1, g_2, \dotsc, g_k \rangle$ является подгруппой группы $G$, и понятно, что $S \subset \langle g_1, g_2, \dotsc, g_k \rangle$.

Поскольку $G(S)$ — наименьшая подгруппа, содержащая $S$, она должна быть подгруппой любой группы, содержащей $S$. В частности,

С другой стороны, любая подгруппа, содержащая $S$, обязана содержать все произведения и обратные к элементам из $S$, а значит, она содержит всё множество $\langle g_1, g_2, \dotsc, g_k \rangle$. В частности, $G(S)$, будучи подгруппой, содержащей $S$, содержит и все такие произведения:

Отсюда следует равенство

То есть $\langle g_1, g_2, \dotsc, g_k \rangle$ — это наименьшая подгруппа группы $G$, содержащая элементы $g_1, g_2, \dotsc, g_k$.

С помощью порождения можно получить любую подгруппу группы $G$. Правда, в этом случае порождающих элементов может быть бесконечное количество.

Для произвольной подгруппы $H \subgroup G$ рассмотрим подгруппу $\langle H \rangle$, порождённую всеми элементами из этой самой подгруппы $H$. Эта порождённая подгруппа совпадает с $H$, и мы получили то, что хотели, но немного нечестным способом.

Также эта конструкция помогает в некотором смысле понять, каким образом устроена произвольная подгруппа: Самые элементарные подгруппы — это циклические подгруппы $\langle g \rangle$. Дальше мы смотрим, какие группы получаются, если к описанным выше циклическим группами мы будем добавлять один дополнительный порождающий элемент. Так мы получим все двухпорожденные группы $\langle g, h \rangle$. Добавляя к двухпорожденным ещё одну дополнительную порождающую, мы получим трехпорожденные и так далее. Ясно, что этим процессом мы исчерпаем все подгруппы.

Проблема у этого процесса всего одна: он очень трудно алгоритмизуется. Часто довольно сложно описывать даже подгруппы, порожденные фиксированной парой элементов. Обычно для описание всех подгрупп применяются дополнительные соображения вроде теоремы Лагранжа, о которой мы поговорим чуть позже.

Давайте научимся мерить группы и их подгруппы относительно порождения.

Пусть $G$ — группа (не обязательно конечная или абелева). Мы уже видели, что любую группу можно попытаться «собрать» из конечного или бесконечного набора порождающих элементов.

Если группа $G$ конечная, то она конечно-порождена, а значит её ранг тоже конечен.

Кажется, что ранг группы является мерой того, насколько группа широкая. Вроде логично: чем больше порождающих, тем шире группа. Но такая интуиция оказывается неверной, и я предлагаю подробно разобрать это недоразумение.

Мы знаем, что $\S_n$ для любого $n$ можно породить двумя перестановками. И, как мы увидим далее, любая группа из $n$ элементов является подгруппой группы $\S_n$. Если мы возьмём любую группу $G$ ранга $k > 2$, то мы сможем вложить эту группу в $\S_{|G|}$, но тогда $\rk S_{|G|} = 2$. В качестве группы ранга $k$ можно взять, например, группу $G = (\ZZ_2)^k$, которая является ещё и линейным пространством над полем $\ZZ_2$. Размерность этого пространства равна рангу группы $(\ZZ_2)^k$, значит $\rk \bigl( (\ZZ_2)^k \bigr) = k$.

Интуицию нам возвращает другое, схожее понятие

Помните упражнение про подгруппы $\QQ$? Решая его, мы фактически показали, что $\Pr \QQ = 1$. То есть несмотря на то, что сама группа $\QQ$ является бесконечно-порожденной, в некотором смысле она очень похожа на однопорожденную. Этот феномен в полной мере раскроется, уже теорию полей, ведь $\QQ$ — уникальное поле характеристики $0$.

Ранг Прюффера подгруппы всегда не превосходит ранга Прюффера объемлющей группы, а потому его можно считать более разумным и естественным аналогом размерности в теории групп.

Давайте возьмём группу $\ZZ_6 = \bigl\{ [0], [1], [2], [3], [4], [5] \bigr\}$. Понятно, что группа $A = \bigl\{ [0], [3] \bigr\}$ является подгруппой группы $\ZZ_6$. Более того, эта подгруппа нормальная, ведь

Продолжаем проводить параллели между группами и числами. Давайте возьмём две группы $A$ и $B$ и сконструируем новую группу $C = A \times B$. По построению $A \nsubgroup C$ и $B \nsubgroup C$. Более того $C/A = B$ и $C/B = A$. Совсем как числа.

Следующее свойство факторгрупп, заслуживающее отдельного внимания — коммутативность факторизации. Если $G_1$ и $G_2$ являются группами, и $H_1$ и $H_2$ — их соответственные нормальные подгруппы, то есть если $H_1 \nsubgroup G_1$ и $H_2 \nsubgroup G_2$, то во-первых $(H_1 \times H_2) \nsubgroup (G_1 \times G_2)$, и во-вторых

Порядок элемента $\ord a$ — наименьшее число $n$ такое, что $a^n = 1$. Если $a^n = 1$, то $\ord a \divides n$

Если $\varphi \colon G \to H$ — любой гомоморфизм, то его ядро является нормальной подгруппой в группе $G$: и его образ является подгруппой в группе $H$,

Гомоморфизм $\varphi \colon G \to H$ может иметь разные названия в зависимости от его свойств.

Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм $\varphi \colon G \injto H$. Для любого мономорфизма $\ker \varphi = \1$

Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм $\varphi \colon G \surjto H$. Для любого эпиморфизма $\im \varphi = H$

Эндоморфизм это гомоморфизм группы на себя, то есть это гомоморфизм $G \to G$.

Группа автоморфизмов $\Aut G$ является инвариантом группы $G$. То есть

доказательство

Давайте вспомним про существование перестановок. Перестановки — это биекции множества из $n$ элементов. Автоморфизмы являются биекциями, относительно композиции они замкнуты, а значит, $\Aut G$ является подгруппой в группе перестановок элементов группы $G$:

Давайте сначала разберём несколько примеров групп автоморфизмов.

Для бесконечной циклической группы $\CC_\oo$ группа автоморфизмов $\Aut \C_\oo = \{\1, -\1\}$

Для конечной циклической группы $\CC_n$ группа автоморфизмов $\Aut \C_n \isom \ZZ_n^\times = \{k \colon \gcd(n, k) = 1 \}$. Это группа, состоящая из всех обратимых элементов по модулю $n$.

Давайте возьмем и каждому элементу $g \in G$ сопоставим его внутренний автоморфизм $\varphi_g$. Мы получили отображение $\varphi \colon G \to \Aut G$, которое является гомоморфизмом группы $G$ на группу $\Aut G$.

Ядро этого гомоморфизма $\ker \varphi$ — группа из таких элементов группы $G$, для которых $\varphi_g(x) = x$, то есть это только такие элементы, которые коммутируют со всеми. Значит, $\ker \varphi = \Zentre G$.

Образ этого гомоморфизма является особой группой

Группа внутренних автоморфизмов является нормальной подгруппой в группе автоморфизмов, то есть $\Inn G \nsubgroup \Aut G$

Для доказательства этого утверждение нужно только проверить нормальность. Подгруппа нормальна, если вместе с каким-то элементом она содержит и все его сопряженные.

Проверим, что для всех $\varphi_g \in \Inn G$ и для всех $\psi \in \Aut G$ элемент $\psi \compose \varphi_g \compose \psi^{-1}$ является внутренним автоморфизмом.

Получившееся сопряжение с $\psi(g)$, то есть элемент $\Inn G$

Внешний автоморфизм -- автоморфизм, но не внутренний

Группа внутренних автоморфизмов $Out G defeq Aut G / Inn G$ -- группа, состоящая из смежных классов всех автоморфизмов по внутренним

Автоморфизм класса -- автоморфизм, который переводит элемент в пределах его класса сопряженности. Это автоморфизм $phi$, что для любого $g$ существует $h$ такой, что $phi(g) = h cdot g cdot h^-1$.

Группа автоморфизмов класса $CPAut G$ -- группа, состоящая из всех автоморфизмов класса