Цепные дроби

Цепная дробь

Цепная дробь — дробь вида

\cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{\ddots + \cfrac{b_n}{a_n }}}} = \kcont_{k=1}^n \frac{b_k}{a_k}

Цепная дробь также может быть и бесконечной.

\cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \dotsb }}} = \kcont_{k=1}^\oo \frac{b_k}{a_k}

Первостепенный интерес для нас будут представлять только те цепные дроби, в которых все $b$ равны единице. Для удобства записи введем обозначение

\/ x_1, x_2, \dots, x_n \/ = 1/(x_1 + 1/(x_2 + 1/(\dots (x_{n-1} + 1/x_n) \dots)))

Тогда, к примеру,

\align{ \/ x_1 \/ &= \frac{1}{x_1}, \\ \/ x_1, x_2 \/ &= \frac{1}{x_1 + 1/x_2} = \frac{x_2}{x_1 x_2 + 1}. }

Если $n=0$ , символ $\/ x_1, \dots, x_n \/$ принимается равным нулю.

Оператор K

Запись вида

X = 1 + \kcont_{n=1}^\infty \frac{a_n}{b_n}

является сокращением для развернутой «лестницы»:

X = 1 + \frac{k_1 x}{1 + \frac{k_2 x}{1 + \frac{k_3 x}{1 + \dots}}}

В линейной строчной записи это эквивалентно:

X = 1 + \frac{k_1 x}{1+} \frac{k_2 x}{1+} \frac{k_3 x}{1+} \frac{k_4 x}{1+} \cdots

Kettenbruch — цепная дробь

Континуанты

Пусть $n \ge 0$ — целое число.

Континуанта — функция $K_n: \RR^n \to \RR$ , определяемая рекуррентным соотношением

K_n(x_1, \dots, x_n) \defeq \cases{ 1 & \if n = 0 \\ x_1 & \if n = 1 \\ x_1\cdot K_{n-1}(x_2, \dots, x_n) + K_{n-2}(x_3, \dots, x_n) & \otherwise }

Таким образом, $K_2(x_1, x_2) = x_1 x_2 + 1$ , $K_3(x_1, x_2, x_3) = x_1 x_2 x_3 + x_1 + x_3$ .

С ростом числа переменных закономерность усложняется: появляются слагаемые, полученные вычеркиванием нескольких несмежных пар одновременно.

Уже при $n=4$ возникает свободный член 1, который получается при одновременном удалении двух пар $x_1 x_2$ и $x_3 x_4$ :

K_4(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 x_3 x_4 + (x_3 x_4 + x_1 x_4 + x_1 x_2) + 1.

Для детального анализа структуры рассмотрим случай $n=5$ . Сгруппируем слагаемые полинома по количеству вычеркнутых пар $k$ :

K_5(x_1, \dots, x_5) = \underbrace{x_1 x_2 x_3 x_4 x_5}_{k=0} + \underbrace{(x_3 x_4 x_5 + \dots + x_1 x_2 x_3)}_{k=1} + \underbrace{(x_5 + x_3 + x_1)}_{k=2}.

Логика формирования групп следующая:

При $k=0$ ни одна пара не вычеркнута, остается полное произведение.

При $k=1$ вычеркивается одна пара соседних переменных. Например, удаление $x_1 x_2$ оставляет хвост $x_3 x_4 x_5$ .

При $k=2$ вычеркиваются две неперекрывающиеся пары. Например, переменная $x_5$ остается в одиночестве, если мы удалили пары $x_1 x_2$ и $x_3 x_4$ .

Подсчет количества таких комбинаций приводит нас к важному комбинаторному обобщению.

В общем случае Л. Эйлер установил, что $K_n(x_1, \dots, x_n)$ можно построить чисто комбинаторно, не прибегая к рекурсии:

Возьмем полное произведение переменных $x_1 x_2 \dots x_n$ .

2. Рассмотрим все возможные способы удалить из него любое количество неперекрывающихся пар соседей $x_j x_{j+1}$ .

3. Сумма всех полученных таким образом остатков и есть искомый полином.

Количество слагаемых в этой сумме всегда равно числу Фибоначчи $F_{n+1}$ .

Основное свойство континуант

\/ x_1, x_2, \dots, x_n \/ = \frac{K_{n-1}(x_2, \dots, x_n)}{K_n(x_1, x_2, \dots, x_n)} \quad\text{при}~ n \ge 1

Докажем утверждение индукцией по числу переменных $n$ .

При $n=1$ левая часть равна $\/ x_1 \/ = 1/x_1$ , а правая часть равна $K_0 / K_1(x_1) = 1/x_1$ . Равенство выполняется.

Теперь предположим, что формула верна для $n-1$ переменных. Рассмотрим выражение для $n$ переменных, выделив первое звено дроби:

\align{ \/ x_1, \dots, x_n \/ &= \frac{1}{x_1 + \/ x_2, \dots, x_n \/} = \frac{1}{x_1 + K_{n-2}(x_3, \dots, x_n) / K_{n-1}(x_2, \dots, x_n)}\\[0.8em]&= \frac{K_{n-1}(x_2, \dots, x_n)}{x_1 \cdot K_{n-1}(x_2, \dots, x_n) + K_{n-2}(x_3, \dots, x_n)} = \frac{K_{n-1}(x_2, \dots, x_n)}{K_n(x_1, \dots, x_n)} }

$K$ -полиномы симметричны в том смысле, что согласно замечанию Эйлера множество соседних пар не меняется при развороте последовательности переменных

K_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = K_n(x_n, \dots, x_2, x_1)

И, как следствие, научились выносить чиселку из $K$ -полинома:

K_n(x_1, \dots, x_n) = x_n K_{n-1}(x_1, \dots, x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1, \dots, x_{n-2}) \quad \text {при } n > 1

Тождество Кассини для континуант

$K$ -полиномы удовлетворяют также обобщённому тождеству Кассини:

K_n(x_1, \dots, x_n) K_n(x_2, \dots, x_{n+1}) - K_{n+1}(x_1, \dots, x_{n+1}) K_{n-1}(x_2, \dots, x_n) = (-1)^n \quad \text {при } n \ge 1

Разложим первые множители в обоих слагаемых $x_1$ по определению:

\align{ &K_n(x_1, \dots, x_n) K_n(x_2, \dots, x_{n+1}) - K_{n+1}(x_1, \dots, x_{n+1}) K_{n-1}(x_2, \dots, x_n) =\\[0.4em]&= (x_1 K_{n-1}(x_2, \dots) + K_{n-2}(x_3, \dots)) K_n(x_2, \dots, x_{n+1})\\[0.4em]&- (x_1 K_n(x_2, \dots, x_{n+1}) + K_{n-1}(x_3, \dots, x_{n+1})) K_{n-1}(x_2, \dots)\\[0.4em]&= K_{n-2}(x_3, \dots) K_n(x_2, \dots, x_{n+1}) - K_{n-1}(x_3, \dots, x_{n+1}) K_{n-1}(x_2, \dots) =\\[0.4em]&= - ( K_{n-1}(x_2, \dots) K_{n-1}(x_3, \dots, x_{n+1}) - K_n(x_2, \dots, x_{n+1}) K_{n-2}(x_3, \dots) ) }

Слагаемые с $x_1$ сокращаются. Шаг индукции меняет знак выражения на противоположный.

Из этого тождества и основного свойства полиномов следует, что

Обобщённая цепная дробь

\/ x_1, \dots, x_n \/ = \frac{1}{q_0 q_1} - \frac{1}{q_1 q_2} + \frac{1}{q_2 q_3} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1} q_n} \quad \text{где } q_k = K_k(x_1, \dots, x_k)

Связь с правильными цепными дробями

Всякое вещественное число $X$ в интервале $0 \le X < 1$ представляется в виде правильной цепной дроби, определяемой следующим образом. Положим, что $X_0 = X$ . Для всех $n \ge 0$ , таких, что $X_n \ne 0$ , положим

A_{n+1} = \lfloor 1/X_n \rfloor, \quad X_{n+1} = 1/X_n - A_{n+1}

Если $X_n = 0$ , то величины $A_{n+1}$ и $X_{n+1}$ не определены и правильной цепной дробью для $X$ будет $\/ A_1, \dots, A_n \/$ . Если $X_n \ne 0$ , данное определение гарантирует, что $0 \le X_{n+1} < 1$ , так что любое $A$ будет положительным целым числом.

Из указанных правил следует, что

X = X_0 = \frac{1}{A_1 + X_1} = \frac{1}{A_1 + 1/(A_2 + X_2)} = \dots

поэтому

X = \/ A_1, \dots, A_{n-1}, A_n + X_n \/ \quad \text {для всех } n \ge1 \text { для которых определено }X_n

В частности, если $X_n = 0$ , то $X = \/ A_1, \dots, A_n \/$ .

Если $X_n \ne 0$ , то число $X$ всегда лежит между $\/ A_1, \dots, A_n \/$ и $\/ A_1, \dots, A_n + 1 \/$ , так как согласно методу вынесения числа из $K$ -полинома величина $q_n = K_n(A_1, \dots, A_n + X_n)$ монотонно возрастает от $K_n(A_1, \dots, A_n)$ до $K_n(A_1, \dots, A_n + 1)$ при возрастании $X_n$ от 0 до 1. Согласно определению обобщённой цепной дроби при возрастании $q_n$ цепная дробь будет возрастать или убывать в зависимости от того, будет ли число $n$ четным или нечетным.

Оценим точность такого представления числа:

\align{ \left| X - \/ A_1, \dots, A_n \/ \right| = \left| \/ A_1, \dots, A_n + X_n \/ - \/ A_1, \dots, A_n \/ \right| &= \left| \/ A_1, \dots, A_n, 1/X_n \/ - \/ A_1, \dots, A_n \/ \right| =\\[0.8em]= \left| \frac{K_n(A_2, \dots, A_n, 1/X_n)}{K_{n+1}(A_1, \dots, A_n, 1/X_n)} - \frac{K_{n-1}(A_2, \dots, A_n)}{K_n(A_1, \dots, A_n)} \right| &= 1 / (K_n(A_1, \dots, A_n) K_{n+1}(A_1, \dots, A_n, 1/X_n))\\[0.8em]&\le 1 / (K_n(A_1, \dots, A_n) K_{n+1}(A_1, \dots, A_n, A_{n+1})) }

Поэтому $\/ A_1, \dots, A_n \/$ — экстремально близкое приближение к $X$ , если $n$ не мало. Если $X_n$ не равно нулю для всех $n$ , получаем бесконечную цепную дробь $\/ A_1, A_2, A_3, \dots \/$ , значение которой определяется как

\lim\limits_{n \to \infty} \/ A_1, A_2, \dots, A_n \/

из оценки ясно, что этот предел равен $X$ .

Рассмотрим применение алгоритма к числу, связанному с золотым сечением. Пусть $X = \frac{\sqrt{5}-1}{2} =\vphi^-1$ .

Переворачиваем $X$ :

1/X_0 = \frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618

Отрезаем целую часть:

A_1 = \lfloor 1.618 \rfloor = 1

Находим новый остаток:

X_1 = 1.618 - 1 = 0.618 = X_0

Так как остаток $X_1$ в точности равен исходному числу, процесс зацикливается. Следовательно, все коэффициенты $A_n$ будут равны 1. Мы получаем самую красивую и медленно сходящуюся цепную дробь:

\cfrac{\sqrt{5}-1}{2} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}} = \/ 1, 1, 1, \dots \/

Разложение вещественных чисел в правильную цепную дробь обладает рядом свойств, аналогичных свойствам чисел, представленных в десятичной системе счисления. Если при помощи приведенных выше формул разложить в правильные цепные дроби некоторые известные вещественные числа, получим, например,

\align{ \sqrt[3]{2} &= 1 + {}&2& \/ 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, 2, 1, 4, 12, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 14, 3, \dots \/ \\ \pi &= 3 + {}&& \/ 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, \dots \/ \\ e &= 2 + {}&& \/ 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, \dots \/ \\ \gamma &= {}&& \/ 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, \dots \/ \\ \vphi &= 1 + {}&& \/ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots \/ }

Числа $A_1, A_2, \dots$ называются частичными отношениями числа $X$ . Обратите внимание на закономерность поведения частичных отношений для чисел $\vphi$ и $e$ . Для чисел же $\sqrt[3]{2}$ , $\pi$ и $\gamma$ никакой видимой закономерности в поведении частичных отношений не наблюдается.

Интересно отметить, что когда древние греки обнаружили существование иррациональных чисел, то, по существу, первое определение вещественных чисел они дали в терминах бесконечных цепных дробей. Позже они приняли предложение Евдокса вместо этого определить $x = y$ следующим образом: “ $x < r$ для тех же рациональных чисел $r$ , таких, что $y < r$ ”.

Если $X$ — рациональное число, то его разложение в правильную цепную дробь естественным образом соотносится с алгоритмом Евклида.

Аппроксимация алгебраических иррациональностей

Теорема Лиувилля

Для всякого вещественного иррационального алгебраического числа $\alpha$ степени $n$ существует такое положительное число $C$ , что при любых целых $p$ и $q$

\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| > \frac{C}{q^n} \quad q > 0

Пусть $\alpha$ является корнем многочлена $f(x)$ степени $n$ с целыми коэффициентами. Как известно из алгебры, мы можем написать:

f(x) = (x - \alpha) f_1(x) \quad \text {где } f_1(x) \text { многочлен степени } n - 1

Легко видеть, что $f_1(\alpha) \ne 0$ .

В самом деле, в случае $f_1(\alpha) = 0$ многочлен $f_1(x)$ делился бы без остатка на $x - \alpha$ , а значит, многочлен $f(x)$ — на $(x - \alpha)^2$ . Но в таком случае производная $f'(x)$ делилась бы на $x - \alpha$ , то есть мы имели бы $f'(\alpha) = 0$ , что невозможно, ибо $f'(x)$ есть многочлен степени $n-1$ с целыми коэффициентами, а $\alpha$ — алгебраическое число степени $n$ оно не может быть корнем многочлена меньшей степени.

Таким образом, мы имеем $f_1(\alpha) \ne 0$ , а следовательно, можно найти такое положительное число $\delta$ , что

f_1(x) \ne 0 \quad (\text{при } \alpha - \delta \le x \le \alpha + \delta)

Пусть $p$ и $q$ ( $q > 0$ ) — любая пара целых чисел. Если $|\alpha - p/q| \le \delta$ , то $f_1(p/q) \ne 0$ , и потому, подставляя в это тождество $x = p/q$ , мы находим:

\align{ \frac{p}{q} - \alpha &= \frac{f(p/q)}{f_1(p/q)} = \frac{a_0 + a_1(p/q) + \dots + a_n(p/q)^n}{f_1(p/q)}\\[0.8em]&= \frac{a_0 q^n + a_1 p q^{n-1} + \dots + a_n p^n}{q^n f_1(p/q)} }

Числитель последней дроби есть число целое и притом отличное от нуля, так как иначе мы имели бы $\alpha = p/q$ , в то время как $\alpha$ по условиям теоремы число иррациональное. Следовательно, этот числитель по меньшей мере равен единице по абсолютному значению. Обозначая через $M$ верхнюю грань модуля функции $f_1(x)$ в интервале $(\alpha - \delta, \alpha + \delta)$ , мы поэтому получаем из последнего неравенства:

\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| > \frac{1}{M q^n}

В случае же, если $|\alpha - p/q| > \delta$ , мы имеем и подавно:

\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| > \frac{\delta}{q^n}

так как $q \ge 1$ , то $\delta \ge \delta/q^n$ . Обозначая поэтому через $C$ любое положительное число, меньшее, чем $\delta$ и $1/M$ , мы во всех случаях будем иметь:

\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| > \frac{C}{q^n}

Цепные дроби для функций

До сих пор мы рассматривали цепные дроби как способ представления чисел. Однако их мощь раскрывается в полной мере при представлении функций. Одним из самых общих методов построения таких разложений является метод дифференциальных уравнений, разработанный Лагранжем.

Метод Лагранжа

Лагранж предложил универсальный способ решения дифференциальных уравнений с помощью цепных дробей. Он рассматривал обобщенное уравнение Риккати вида:

(\alpha + \alpha' x^k) y' + (\beta + \beta' x^k) y + \gamma y^2 = \delta x^k, \quad y(0) = 0

Здесь $\alpha, \beta, \dots$ — постоянные коэффициенты, а $k$ — степень переменной.

Чтобы представить решение в виде цепной дроби, Лагранж использовал подстановку:

y = \frac{\delta x^k}{u(x)}

Подставив это выражение в исходное уравнение, он получил для новой функции $u(x)$ уравнение той же самой структуры. Выделив из $u(x)$ главную часть $(k\alpha + \beta)$ , он снова сделал обратную подстановку для остатка.

Этот процесс порождает бесконечную вложенность, которая и дает итоговую формулу:

Универсальная формула разложения

y = \cfrac{\delta x^k}{ k\alpha + \beta + \cfrac{((k\alpha + \beta)(k\alpha' + \beta') + \gamma\delta) x^k}{ 2k\alpha + \beta + \cfrac{(k^2\alpha\alpha' - \dots ) x^k}{ 3k\alpha + \beta + \dots } } }

Чтобы получить разложение для конкретной функции, достаточно найти соответствующее ей дифференциальное уравнение, определить параметры $\alpha, \beta, \gamma$ и подставить их в этот шаблон.

Разложения основных функций

1. Степенная функция

Рассмотрим функцию $y = (1+x)^\nu$ .

Она удовлетворяет уравнению $(1+x)y' = \nu y$ . Приведем его к общему виду:

(1+x)y' - \nu y = 0 \implies \alpha=1, \alpha'=1, \beta=-\nu, \beta'=0, \gamma=0, \delta=0

Подставляя эти параметры в общую формулу Лагранжа, получаем разложение:

(1+x)^\nu = 1 + \cfrac{\nu x}{1 + \cfrac{(1-\nu)x}{2 + \cfrac{(1+\nu)x}{3 + \cfrac{(2-\nu)x}{2 + \dots}}}}

Это разложение сходится на всей комплексной плоскости с разрезом по лучу $(-\infty, -1]$ .

2. Логарифм

Используем предельный переход из степенной функции:

\ln(1+x) = \lim\limits_{\nu \to 0} \frac{(1+x)^\nu - 1}{\nu}

В разложении степенной функции при $\nu \to 0$ числители звеньев упрощаются: $(1-\nu)x \to 1^2 x$ , $(1+\nu)x \to x$ , с учетом сокращения на $\nu$ в знаменателе предела, что дает структуру квадратов натуральных чисел:

\ln(1+x) = \frac{x}{1 + \/ 1^2 x, 2^2 x, 3^2 x, \dots \/}

3. Показательная функция

В разложении степенной функции сделаем замену $x \to x/\nu$ и перейдем к пределу при $\nu \to \infty$ . Тогда $(1 + x/\nu)^\nu \to e^x$ . Коэффициенты дроби при этом трансформируются: $(1-\nu)x/\nu \approx -x$ , $(1+\nu)x/\nu \approx x$ . Это приводит к знакочередующейся дроби:

e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{2 + \cfrac{x}{3 - \cfrac{x}{2 + \dots}}}}

Сжатие этой дроби приводит к более известной форме, полученной Эйлером:

e^x = 1 + \cfrac{2x}{2-x + \cfrac{x^2}{6 + \cfrac{x^2}{10 + \dots}}}

4. Арктангенс

Функция $y = \arctan x$ удовлетворяет уравнению $y' = 1/(1+x^2)$ , или $(1+x^2)y' = 1$ . Это соответствует параметрам общего уравнения при $k=2$ :

\alpha=1, \alpha'=1, \beta=0, \gamma=0, \delta=1

Прямая подстановка в формулу Лагранжа дает:

\arctan x = \frac{x}{1 + \/ 1^2 x^2, 2^2 x^2, 3^2 x^2, 4^2 x^2, \dots \/}

5. Тангенс

Для $y = \tan x$ дифференциальное уравнение имеет вид $y' = 1+y^2$ . Здесь $\gamma = -1$ (если перенести $y^2$ влево: $y' - y^2 = 1$ ). Подстановка параметров в «конструктор» Лагранжа порождает знаменитую дробь Ламберта:

\tan x = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \dots}}}

Вычисление цепных дробей через гипергеометрические функции

Напомним, что гипергеометрические функции — это широкий класс специальных функций, задаваемых степенными рядами, коэффициенты которых зависят от набора параметров. Наиболее важным частным случаем является функция Гаусса ${}_2F_1$ , к которой сводятся многие элементарные функции.

Рассмотрим общий метод построения дробей для отношений гипергеометрических рядов.

Алгоритм построения

Пусть последовательность функций $f_0, f_1, f_2, \dots$ удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению:

f_{i-1} - f_i = k_i x f_{i+1}

Разделим обе части уравнения на $f_i$ . Это позволяет выразить отношение соседних функций:

\frac{f_{i-1}}{f_i} - 1 = k_i x \frac{f_{i+1}}{f_i} \quad \implies \quad \frac{f_{i-1}}{f_i} = 1 + \dfrac{k_i x}{f_i / f_{i+1}}

Перевернув дробь, получаем рекурсивную формулу:

\frac{f_i}{f_{i-1}} = \dfrac{1}{1 + k_i x \frac{f_{i+1}}{f_i}}

Применяя это равенство последовательно для $i=1, 2, \dots$ , мы разворачиваем отношение первых двух функций в бесконечную цепную дробь. В компактной нотации Гаусса это записывается через оператор $\mathbf{K}$ :

\frac{f_1}{f_0} = \dfrac{1}{1 + \mathbf{K}_{n=1}^\infty \dfrac{k_n x}{1}}

1. Функция ${}_0F_1$ (Связь с функцией Бесселя)

Для функции ${}_0F_1(a; x)$ известно рекуррентное соотношение:

{}_0F_1(a; x) - {}_0F_1(a-1; x) = -\dfrac{x}{a(a-1)} {}_0F_1(a+1; x)

Подставляя $f_i = {}_0F_1(a+i; x)$ в общий алгоритм, получаем разложение:

\frac{{}_0F_1(a+1 \mid x)}{{}_0F_1(a \mid x)} = \dfrac{1}{a + \mathbf{K}_{n=1}^\infty \dfrac{x}{a+n}}

2. Функция ${}_1F_1$ (Вырожденная, связь с экспонентой)

Для вырожденной функции используются два чередующихся тождества, связывающих параметры $a$ и $b$ . Это приводит к дроби с коэффициентами:

\frac{{}_1F_1(a+1 \mid b+1 \mid x)}{{}_1F_1(a \mid b \mid x)} = \dfrac{1}{b + \mathbf{K}_{n=1}^\infty \dfrac{k_n x}{b+n}}

где числители звеньев $k_n$ зависят от шага $n$ : $k_{2m} = b+m$ , $k_{2m+1} = a-b-m$ .

3. Функция Гаусса ${}_2F_1$

Это наиболее общий случай. Рекуррентные соотношения Гаусса (связывающие смежные функции) приводят к разложению:

\frac{{}_2F_1(a+1, b+1 \mid c+1 \mid x)}{{}_2F_1(a, b \mid c \mid x)} = \dfrac{1}{1 + \mathbf{K}_{n=1}^\infty \dfrac{k_n x}{1}}

Здесь коэффициенты $k_n$ имеют сложную структуру, чередующуюся для четных и нечетных звеньев:

k_{2m+1} = -\dfrac{(a+m)(c-b+m)}{(c+2m)(c+2m+1)} \quad k_{2m+2} = -\dfrac{(b+m+1)(c-a+m+1)}{(c+2m+1)(c+2m+2)}

Примеры применения

Применим полученные алгоритмы к конкретным элементарным функциям.

1. Арктангенс

Разложение получается из представления арктангенса через ряд Гаусса $\arctan z = z \cdot {}_2F_1(1/2, 1; 3/2; -z^2)$ .

Применяя общую формулу с параметрами $a=1/2, b=1, c=3/2$ , получаем быстро сходящуюся дробь:

\arctan z = \dfrac{z}{1 + \mathbf{K}_{n=1}^\infty \dfrac{(nz)^2}{2n+1}}

2. Экспонента

Экспонента связана с вырожденной гипергеометрической функцией $e^z = {}_1F_1(1; 1; z)$ .

Используя предельный переход в формуле Гаусса (при $b \to \infty$ ), мы получаем разложение с простыми коэффициентами:

e^z = \dfrac{1}{1 + \mathbf{K}_{n=1}^\infty \dfrac{c_n z}{1}} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{-z}{1 + \dfrac{z/2}{1 + \dfrac{-z/6}{1 + \dots}}}}

3. Тангенс

Это исторически первый пример (Ламберт, 1768). Тангенс выражается через отношение функций Бесселя ( ${}_0F_1$ ).

Преобразование дроби приводит к знаменитой формуле с нечетными числами в знаменателях:

\tan z = \dfrac{z}{1 - \mathbf{K}_{n=1}^\infty \dfrac{z^2}{2n+1}} = \dfrac{z}{1 - \dfrac{z^2}{3 - \dfrac{z^2}{5 - \dots}}}