Позиционное представление (positional notation) числа $n$ по основанию $b$ — способ представить число $n$ в виде суммы

Например, число $(173.4)_8 = 1 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8 + 3 + 4 \cdot 8^{-1} = 123.5$.

Позиционное представление, вопреки школьному запрету, может существовать для любых действительных оснований. Числа $a_k$ называются цифрами в этой системе счисления, и для всех них всегда верно неравенство $0 \le a_k < b$. Это гарантирует единственность позиционного представления.

Из позиционного представления неотрицательного числа $n = \bigl( \dotsm \, a_2 \, a_1 \, a_0 \, . \, a_{-1} \, a_{-2} \, \dotsm \bigr)_b$ можно сразу выделить значение произвольного $a_k$

Между представлением чисел в системах счисления по основанию $b$ и по основанию $b^k$ есть простая связь

Для перевода из десятичной системы счисления нужно последовательно делить с остатком $d$ целую часть числа $n$ на основание системы $b$, а дробную часть $n$ умножать на $b$. Возьмём число $42.125$ и представим его в шестнадцатеричной системе счисления:

Зписываем остатки от деления целой части в обратном порядке, а целые части от умножения дробной — в прямом и получаем

Этот алгоритм на псевдокоде:

Количество разрядов в $b$-ричном представлении числа N вычисляется по следующей формуле:

Домножив результат на основание, мы получим цену представления числа $N$ в $b$-ричной системе счисления.

Чем меньше значение E — тем оптимальнее основание для представления числа. С увеличением $N$ оптимальное основание будет меняться.

Мы привыкли к системам счисления с натуральными основаниями $(2, 10, 16)$, но ничто не мешает нам взять за основание и отрицательное число, это называется нега-позиционной системой счисления. Например, число с основанием $-10$ будет выглядеть так:

Несложно заметить, что на каждом чётном разряде множитель положительный, а на каждом нечётном — отрицательный. Благодаря этому в нега-позиционной системе счисления можно беззнаково представить как положительное так и отрицательное число.

Перевод из десятичной в нега-позиционную систему счисления работает точно так же, как и в системах с натуральным основанием.

Сложение в столбик в нега-позиционных системах счисления происходит так же, как и в привычных нам, но с одним нюансом. Если при сложении в каком-то разряде получается число большее или равное основанию, то в разряд записывается число единиц, а из левого разряда вычитается $1$.

Если старшего разряда разряда нет, то слева приписывается $1$ и максимальная цифра системы счисления.

Для вычитания аналогично.

Нега-позиционная система счисления с основанием $-2$ использовалась в польских электронно-вычислительных машинах 50-х годов: SKRZAT 1 и BINEG.

Пожалуй, одной из самых известных систем счисления является симметрично-троичная, то есть использующая цифры $-1$, $0$ и $1$ вместо $0$, $1$ и $2$. Обозначим $-1$ как $\bar{1}$. Такая система счисления имеет несколько примечательных свойств:

1. Обратное по сложению число можно получить взаимной заменой $1$ и $\bar{1}$

2. Знак числа определяется знаком старшего разряда

3. Для округления до ближайшего целого нужно просто отбросить дробную часть

Для перевода числа в симметрично-троичную систему счисления нужно сначала перевести его в троичную, добавить к нему число, состоящее из бесконечного количества единиц, и уменьшить каждую цифру на единицу.

Если при сложении разряд переполняется, то в него записывается $\bar{1}$, а к левому добавляется $1$.

В остальном арифметические операции в симметрично-троичной системе ничем не отличаются от стандартных.

В сороковых годах прошлого века, когда первые компьютеры были только в разработке, симметричная троичная система наравне с двоичной рассматривалась как альтернатива десятичной. Электронные схемы для троичной логики не сильно сложнее двоичной, зато для представления числа количество разрядов равно $\log_3{2}$, то есть примерно $63$ от количества разрядов для этого же числа в двоичной. Симметрично-троичная система счисления испоьлзовалась в советсвкой вычислительной машине СЕТУНЬ.

Если взять за основание рациональное число $b > 1$, а как цифры все числа меньше $b$, то получится система, поздоляющая представлять дроби с высокой точностью, что может быть критически важно во многих ситуациях, например, при сжатии данных.

Иррациональное основание системы счисления позволяет записывать бесконечные дроби конечным количеством знаков без потери точности, а так же применять различные свойства так часто используемых в математике констант. Многие такие системы являются избыточными, то есть количество цифр в них больше основания. Рассмотрим несколько примечательных иррациональных оснований:

Такие основания позволяют представлять числа из расширения поля $\QQ[\sqrt[k]{n}]$. В системе с основанием равным корню $k$-той степени кажый $k$-тый разряд обозначает натуральное число, остальные — иррациональные. Применение этому можно найти в геометрии. Например, диагональ квдарата со стороной $1$ равна $10_{\sqrt{2}}$, а площадь правильного восьмиугольника c единичной стороной равняется $1100_{\sqrt{2}}$.

Если при сложении в разряде получается число $\ge b^2$, то единица добавляется к $k$-му разряду слева.

Придуманная американским математиком Джорджом Бергманом система (также называемая фиеричной) в кажестве основания использует число $\vphi$. Напомню, что

Из этого следует очень интересное свойство такой системы счисления:

Система Бергмана позволяет записать любое натуральное число конечным количеством цифр, причём для всех, кроме единицы, в записи будут цифры после запятой и при этом в ней не будет двух идущих подряд единиц.

Перевод из десятичного основания в фиеричное также довольно экзотичен. Зная запись числа $n$, можно выразить $n+1$ таким образом: если нулевой разряд в $n$ равен нулю, то прибаляем единицу и нормализуем запись, то есть избавляемся от повторяющихся единиц вышеуказанным свойством. Если же в нулевом разряде находится единица, то нужно денормализовать число так, чтобы нулевой разряд стал нулём, а потом выполнить предыдущий шаг.

Из-за того, что $1_{\vphi} + 1_{\vphi} = 10.01_{\vphi}$ используемое всё время до этого сложение в столбик с переносом разрядов попросту не работает. Алгоритм суммирования здесь следующий: нужно суммировать числа, не перенося разряды, а после этого результат разбивать на другую сумму, денормализовывать, снова суммировать и приводить к нормальному виду.

Умножение в системе счисления Бергмана рабоатет точно так же, как и в двоичной.

Фиеричная система счисления может быть полезна в вычислениях, связанных с золотым сечением.

Используя число Эйлера как основание системы, мы не сможем записывать натуральные числа конечным количеством цифр, зато такая система будет иметь высокую точность в операциях с иррациональными числами. Из формулы цены представления числа $N$ в системе с основанием $b$

следует, что основание $e$ является самым экономичным, то есть использует оптимальное количество цифр относительно длины числа.

Перевод в $e$-ричную систему счисления осуществляется так же, как и в систему с натуральным основанием. Единственное отличие — это необходимость заранее определить точность, чтобы иметь возможность получить остаток от деления на иррациональное число.

Рассмотрим мнимочетверичную систему счисления, то есть с основанием $2i$:

Здесь чётные разряды представляют вещественные числа, а нечётные — мнимые. Таким образом системы счисления с мнимым основанием позволяют записывать комплексные числа цельно, не раскладывая их на сумму действительной и мнимой частей. Количество цифр в такой системе счисления равно $-1 \cdot b^2$.

В системах счисления с комплексным основанием на чётных позициях так же находятся вещественные числа, а на начётных — комплексные.

Такие системы счисления позволяют умножать и делить комплексные числа так же, как и при любом другом основании, но при этом нужно соблюдать следующие правила переноса: если цифра становится $\ge -1 \cdot b^2$, прибавить $b^2$ и $-1$ перенесётся на два разряда влево, если цифра отрицательна, то вычитается основание системы в квадрате, а $+1$ переносится.

Смешанные системы счисления в общем виде имеют следующий вид:

Выглядит страшно, но на самом деле смешанными системами счисления мы пользуемся каждый день. Например, "2 недели, 5 дней, 13 часов, 45 минут, 3 секунды и 492 миллисекунды" можно записать как

Очень примечателльной смешанной системой является факториальная, где $b_n = n + 2$. Она позволяет представить любое натуральное число в виде

Перевод из десятичной системы в систему с факториальным образом похож на перевод в систему с натуральным основанием, но сначала мы делим на $2$, потом на $3$, потом на $4$ и так далее. В качестве примера переведём число 418:

Эта система счисления может пригодиться в комбинаторике при подсчёте количесва перестановок, размещений и сочетаний.

Другой широко используемой смешанной системой является фибониччиева, в её основе лежат числа Фибоначии, то есть $b_n = \FFF_n$, а каждый разряд равен нулю или единице, так как любое натуральное число можно выразить суммой чисел Фибоначчи. Из-за того, что $\FFF_{j-2} + \FFF_{j-1} = \FFF_j$ здесь (как и в фиеричной системе) не встречаются две единицы подряд. Такая система счисления очень полезна в жадных алгоритмах.