Ряды Тейлора

Функции одной переменной

Возьмём какую-то гладкую функцию $f \colon \RR \to \RR$ и попробуем аппроксимировать её каким-то многочленом.

f(x) \approx \sum\limits_{k=0}^n a_n \cdot x^k

Аппроксимация функции многочленом Тейлора

Пусть функция $f \colon \R \to \RR$ является $n$ раз дифференцируемой в точке $a$ . Тогда

f(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \cdot (x-a)^k + r_n(x)

где $r_n(x) = o \bigl( (x-a)^n \bigr)$ — остаточный член, а аппроксимация запущена из точки $a$ .

В формуле присутствует множитель $(x-a)^k$ для всех степеней $k$ от $0$ до $n$ . Значит,

T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a) \quad\text{для всех}~ 0 \le k \le n

Многочлен Тейлора $T_n(x)$ хорошо аппроксимирует функцию $f$ в окрестности точки $a$ . Для доказательства запишем функцию $f(x)$ в виде

f(x) = T_n(x) + r_n(x)

Здесь $r_n(x)$ — остаточный член.

Остаточный член $r_n (x)$ может быть представлен огромным числом способов.

Форма Пеано. Самая простая и самая грубая форма — форма Пеано или форма Ландау.

r_n (x) = o \bigl( (x - a)^n \bigr) \quad\text{при}~ x \to x_o

Эта запись означает, что остаток $r_n (x)$ является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем $(x-a)^n$ .

Форма Лагранжа. Если $f$ имеет непрерывную производную $(n+1)$ -го порядка в окрестности точки $a$ , то остаток можно записать в виде

r_n (x) = \frac{f^{(n+1)} (\xi)}{(n+1)!} \cdot (x-a)^{n+1} \quad\text{где}~ \xi = a + \theta \, (x-a) ~\text{и}~ 0 < \theta < 1

Здесь $\xi$ — какая-то точка между $x$ и $a$ . С помощью $\theta$ я явно показал относительное положение точки $\xi$ . Эта форма удобна для оценки погрешности, так как позволяет оценить остаток через максимальное значение производной на интервале.

Форма Коши. Если $f$ имеет непрерывную производную $(n+1)$ -го порядка в окрестности точки $a$ , то остаток можно записать в виде

r_n (x) = \frac{f^{(n+1)} (\xi')}{n!} \cdot (x-\xi')^n \cdot (x-a) \quad\text{где}~ \xi' = a + \theta \, (x-a) ~\text{и}~ 0 < \theta < 1

Здесь $\xi'$ — это опять какая-то точка между $x$ и $a$ . Иногда эта форма бывает удобнее формулы Лагранжа, потому что для некоторых функций даёт более жесткие границы остатка, а в численных методах даёт более реалистичные оценки погрешности.

Однако важно понимать, что в общем случае формула Коши хуже формы Лагранжа в $(n+1)$ раз

\align{ \text{Лагранж}\quad & | r_n (x) | = \left| \frac{f^{(n+1)} \bigl( a + \theta \, (x-a) \bigr)}{(n+1)!} \cdot (x-a)^{n+1} \right| \le \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \max\limits_{0 < \theta < 1} \bigl| f^{(n+1)} \bigl( a + \theta \, (x-a) \bigr) \bigr|\\[0.8em]\text{Коши}\quad & | r_n (x) | = \left| \frac{f^{(n+1)} \bigl( a + \theta \, (x-a) \bigr)}{n!} \cdot (x-a)^{n+1} \cdot (1-\theta)^n \right| \;\! \le \;\! \frac{|x-a|^{n+1}}{n!} \cdot \max\limits_{0 < \theta < 1} \bigl| f^{(n+1)} \bigl( a + \theta \, (x-a) \bigr) \bigr| }

Интегральная форма. Если $f$ имеет непрерывную производную $(n+1)$ -го порядка в окрестности точки $a$ , то остаток можно записать в виде определенного интеграла

r_n (x) = \frac{1}{n!} \int\limits_a^x (x-t)^n \, f^{(n+1)}(t) \, dt

Эта форма наиболее точная и часто используется в доказательствах, так как не содержит неопределенной точки $\xi$ .

Общая форма Шлёмильха – Роша. Если $f$ имеет непрерывную производную $(n+1)$ -го порядка в окрестности точки $a$ , то для произвольного числа $p > 0$ остаток можно записать в виде

r_n (x) = \left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p \cdot \frac{f^{(n+1)} (\xi)}{n! \, p} \cdot (x-\xi)^{n+1} \quad\text{где}~ \xi = a + \theta \, (x-a) ~\text{и}~ 0 < \theta < 1

Подставив $\xi = a - \theta \, (x-a)$ , можно получить более приятный вид

r_n (x) = (1-\theta)^{n+1-p} \cdot \frac{f^{(n+1)} (a - \theta \, (x-a))}{n! \, p} \cdot (x-a)^{n+1} \quad\text{где}~ \xi = a + \theta \, (x-a) ~\text{и}~ 0 < \theta < 1

Форма Лагранжа получается при $p = n+1$ , и форма Коши получается при $p = 1$ .

Сходимость

Ряд Тейлора является степенным рядом, поэтому он имеет в качестве области сходимости круг с центром в точке $a$ .

Радиус сходимости $R$ ряда Тейлора можно вычислить по формуле Даламбера

R = \lim\limits_{k \to \oo} \left| \frac{f^{(k)}(a) / k!}{f^{(k+1)}(a) / (k+1)!} \right| = \lim\limits_{k \to \oo} \left| (k-1) \cdot \frac{f^{(k)}(a)}{f^{(k+1)}(a)} \right|

Или из признака Коши, из которого следует, что наш ряд сходится при:

\lim\limits_{ k \to \oo} \sup \left| \frac {f^{(k)}(a)(x - a)^k} {k!} \right|^{ 1/k} < 1\\[0.8em]\left| x - a \right| < \lim\limits_{ k \to \oo} \sup \frac {1}{\left| f^{(k)}(a)/k! \right| ^{1/k}}

И поскольку радиус сходимости — максимальное значение $\left| x - a \right|$ при котором ряд сходится, верно следующее

R = \lim\limits_{ k \to \oo} \sup \frac {1}{\left| f^{(k)}(a)/k! \right| ^{1/k}}

Данная формула используется, как правило, когда предел по Даламберу не существует

Ряды Маклорена

В большинстве задач очень удобно брать начальную точку аппроксимации $a = 0$ . Ряды, в которых $a = 0$ называются рядами Маклорена.

Вот несколько примеров таких рядов

e^x = \sum\limits_{k=0}^\oo \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + O(x^5) \quad\text{для}~ x \in \CC

\ln (1+x) = \sum\limits_{k=0}^\oo \frac{(-1)^k \, x^{k+1}}{k+1} = \sum\limits_{n=1}^\oo \frac{(-1)^{n+1} \, x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + O(x^6) \quad\text{для}~ -1 < x \le 1

(1+x)^\alpha = \sum\limits_{k=0}^\oo \frac{a^{\underline{k}}}{k!} \cdot x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha \, (\alpha - 1)}{2} \cdot x^2 + \frac{\alpha \, (\alpha - 1) \, (\alpha - 2)}{6} \cdot x^3 + O(x^4) \quad\text{при}~\alpha \in \RR \quad \text{для}~ |x| < 1

Для функций с несколькими переменными

В ряд Тейлора можно раскладывать не только функции одной переменной. Для функций многих переменных придётся ввести дифференциальный оператор

\T = (x_1-a_1) \cdot \frac{\partial}{\partial x_1} + (x_2-a_2) \cdot \frac{\partial}{\partial x_2} + \dotsb + (x_n-a_n) \cdot \frac{\partial}{\partial x_n}

Тогда функцию $f \colon \RR^n \to \RR$ можно аппроксимировать многочленом многих переменных

f(x) = \sum\limits_{k=0}^{\oo} \frac{\T^k \, f(a)}{k!}

где аппроксимация запущена из точки $a$ .

Но если $f(x)$ имеет только $n$ производную в точке $a$ , то аппроксимация будет выглядеть так

f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{\T^k f(a)}{k!} + r_n(x)

где

r_n(x)

- остаточный член

Вот несколько наиболее популярных способов выразить остаточный член, уже для функции многих переменных, при условии, что $f$ является $(n+1)$ дифференцируемой в окрестности точки $a$

Форма Лагранжа

r_n (x) = \frac{\T^{n+1}f (\xi)}{(n+1)!} \quad\text{где}~ \xi = a + \theta \, (x-a) ~\text{и}~ 0 < \theta < 1

Интегральная форма

r_n (x) = \frac{1}{n!} \int\limits_0^1 (1-t)^n \, \T^{n+1} \, f(a + t(x - a)) \, dt

Упражнения

Аппроксимировать $f(x, y, z) = e^{xy} \ln(1 + z) + e^z\sin(x)\cos(y)$ в окрестности точки $a = (0,\, 0,\, 0)$ до второго порядка

Необходимо вывести формулу бинома Ньютона при помощи ряда Тейлора

Пусть $f(x) = (1+x)^\alpha \cdot \ln (1+x)$ , где $\alpha > 0$ . Разложим эту функцию в степенной ряд $f(x) = \sum\limits_{k=0}^\oo a_k x^k$ .

Найдите рекуррентное соотношение для коэффициентов $a_k$

a_{k+1} = \binom{\alpha}{k} \bigg/ (k+1) - \frac{k - \alpha}{k + 1} \cdot a_{k} \quad\text{при}~ a_0 = 0 ~\text{и}~ a_1 = 1

И найдите точный вид коэффициентов $a_k$ .

Докажите выражение для производной биномиального коэффициента

\frac{\partial}{\partial \alpha} \binom{\alpha}{k} = \binom{\alpha}{k} \cdot \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - k + 1) \bigr)

И дифференцируя рекуррентное соотношение по $\alpha$ , получите выражения для суммы

\sum\limits_{p=1}^{k} \frac{(-1)^p}{p} \, \binom{\alpha}{k-p} \, \left( \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - k + p + 1) \bigr) \cdot \frac{p \, (1 + \alpha) + \alpha - k}{p+1} + 1 \right)

Ответ

Запишем функцию

f(x) = (1+x)^\alpha \cdot \ln (1+x) = \sum\limits_{k=0}^\oo a_k x^k

Найдём производную

f'(x) = \alpha \, (1+x)^{\alpha-1} \cdot \ln (1+x) + (1+x)^{\alpha - 1}

Умножим производную на $(1+x)$ и получим дифференциальное уравнение

(1+x) \cdot f'(x) = \alpha \, f(x) + (1+x)^\alpha

Решать дифур не надо, достаточно просто записать ряды

(1+x) \cdot \sum\limits_{k=0}^\oo (k+1) \, a_{k+1} x^k = \alpha \sum\limits_{k=0}^\oo a_k x^k + \sum\limits_{k=0}^\oo \binom{\alpha}{k} \, x^k

Приравнивая коэффициенты рядов, получаем рекурренту

(k+1) \, a_{k+1} + k \, a_k = \alpha \, a_k + \binom{\alpha}{k} \iff a_{k+1} = \binom{\alpha}{k} \bigg/ (k+1) - \frac{k - \alpha}{k + 1} \cdot a_{k}

Перемножим два ряда Тейлора для $(1+x)^\alpha$ и $\ln (1+x)$

f(x) = \left( \sum\limits_{k=0}^\oo \binom{\alpha}{k} \, x^k \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=1}^\oo \frac{(-1)^{k+1}}{k} \cdot x^k \right) = \sum\limits_{k=0}^\oo \left( \sum\limits_{j=0}^{k-1} \binom{\alpha}{j} \, \frac{(-1)^{k-j+1}}{k-j} \right) \cdot x^k

Получается, что коэффициент $a_k$ перед $x^k$ в разложении $f(x)$ в степенной ряд равен

a_k = \sum\limits_{j=0}^{k-1} \binom{\alpha}{j} \, \frac{(-1)^{k-j+1}}{k-j}

Пусть теперь $a_k = a_k(\alpha)$ — рассматриваем коэффициент это как функцию от $\alpha$ . Продифференцируем рекурренту по $\alpha$ :

(k+1) \, a_{k+1}' + (k-\alpha) \, a_k' - a_k = \binom{\alpha}{k} \cdot \bigl( \psi(\alpha+1) - \psi(\alpha-k+1) \bigr)

Подставим значение $a_k' = \sum\limits_{j=0}^{k-1} \binom{\alpha}{j} \, \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - j + 1) \bigr) \, (-1)^{k-j+1} / (k-j)$

\align{ & (k+1) \cdot \sum\limits_{j=0}^k \binom{\alpha}{j} \, \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - j + 1) \bigr) \, \frac{(-1)^{k-j}}{k-j+1} + \\ & + (k-\alpha) \, \sum\limits_{j=0}^{k-1} \binom{\alpha}{j} \, \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - j + 1) \bigr) \, \frac{(-1)^{k-j+1}}{k-j} - \sum\limits_{j=0}^{k-1} \binom{\alpha}{j} \, \frac{(-1)^{k-j+1}}{k-j} = \binom{\alpha}{k} \cdot \bigl( \psi(\alpha+1) - \psi(\alpha-k+1) \bigr) }

Выделим из первой суммы последний член и сгруппируем всё в одну сумму

\align{ (k+1) \, \binom{\alpha}{k} \, \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - k + 1) \bigr) + \sum\limits_{j=0}^{k-1} (-1)^{k-j} \, \binom{\alpha}{j} \, \left( \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - j + 1) \bigr) \cdot \left( \frac{k+1}{k-j+1} - \frac{k - \alpha}{k-j} \right) + \frac{1}{k-j} \right) = \binom{\alpha}{k} \cdot \bigl( \psi(\alpha+1) - \psi(\alpha-k+1) \bigr) }

Теперь выражаем сумму

\align{ \sum\limits_{j=0}^{k-1} (-1)^{k-j} \, \binom{\alpha}{j} \, \left( \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - j + 1) \bigr) \cdot \left( \frac{k+1}{k-j+1} - \frac{k - \alpha}{k-j} \right) + \frac{1}{k-j} \right) = - k \, \binom{\alpha}{k} \cdot \bigl( \psi(\alpha+1) - \psi(\alpha-k+1) \bigr) }

Сделав замену $p = k - j$ и переписав дроби, получим

\align{ \sum\limits_{p=1}^{k} \frac{(-1)^p}{p} \, \binom{\alpha}{k-p} \, \left( \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - k + p + 1) \bigr) \cdot \frac{p \, (1 + \alpha) + \alpha - k}{p+1} + 1 \right) = - k \, \binom{\alpha}{k} \, \bigl( \psi(\alpha + 1) - \psi(\alpha - k + 1) \bigr) }