Мера

Возьмем какое-то множество $X$ и посмотрим на семейство его подмножеств $\FFF \subset 2^X$ .

Алгебра множеств

Семейство $\FFF$ подмножеств $X$ называется алгеброй множеств, если оно содержит всё $X$ и допускает взятие дополнения, конечного пересечения и объединения. Иными словами,

$\nothing \in \FFF$ и $X \in \FFF$
$A \sect B \in \FFF$ и $A \union B \in \FFF$ для любых $A, B \in \FFF$
если $A \in \FFF$ , то $X \without A \in \FFF$

Сигма-алгебра множеств

Семейство $\FFF$ подмножеств $X$ называется сигма-алгеброй, если оно содержит всё $X$ и допускает взятие дополнения, конечного и счетного пересечения и объединения. Иными словами,

$\nothing \in \FFF$ и $X \in \FFF$
$A \sect B \in \FFF$ и $A \union B \in \FFF$ для любых $A, B \in \FFF$
$\bigsect_{i=1}^\oo A_i \in \FFF$ и $\bigunion_{i=1}^\oo A_i \in \FFF$ для любых $A_i \in \FFF$
если $A \in \FFF$ , то $X \without A \in \FFF$

Понятно, что сигма-алгебра множеств является просто алгеброй множеств.

Мера

Пусть задано множество $X$ и семейство его подмножеств $\FFF$ , которое является алгеброй множеств

Мера (аддитивная) на множестве $X$ — функция $\mu \colon \FFF \to [0, +\infty]$ , удовлетворяющая условиям:

$\mu(\nothing) = 0$ — мера пустого множества $0$
$\mu(A \djunion B) = \mu(A) + \mu(B)$ для любых непересекающихся множеств $A, B \in \FFF$

Счетно-аддитивная мера

Пусть $\FFF$ теперь является сигма-алгеброй.

Мера (счетно-аддитивная) на множестве $X$ — функция $\mu \colon \FFF \to [0, +\infty]$ , удовлетворяющая условиям:

$\mu(\nothing) = 0$ — мера пустого множества $0$
$\mu(A \djunion B) = \mu(A) + \mu(B)$ для любых непересекающихся множеств $A, B \in \FFF$
$\mu \Big( \bigdjunion_{i=1}^\oo A_i \Big) = \sum\limits_{i=1}^\oo \mu(A_i)$ для любых непересекающихся множеств $A, B \in \FFF$

Обычно, когда говорят просто мера, подразумевают счетно-аддитивную меру.

Например, на множестве $\RR$ мера может быть задана для всех отрезков $[a, b] \in \RR$ как $\mu \big( [a, b] \big) = b - a$ .

Итак, мера на $X$ — способ измерять подмножества $X$ , лежащие в $\FFF$ .

Некоторые свойства меры, которые следуют из определений

если $A \subseteq B$ , то $\mu(A) \le \mu(B)$
если $A \subseteq B$ , то $\mu(A \without B) = \mu(A) - \mu(B)$
$\mu(A \union B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A \sect B)$

Для счетно-аддитивных мер есть еще два важных свойства, связанных с последовательностями множеств.

Пусть $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \dotsb$ — последовательность вложенных множеств, предел которой $\lim\limits_{n \to \oo} A_n = \bigsect_{i=1}^\oo A_i = A$ . Тогда $\lim\limits_{n \to \oo} \mu(A_n) = \mu(A)$ .