Например, $\RR$ вместе со стандартной метрикой $d(x, y) = |x - y|$ является метрическим пространством.

На основе этой метрике можно построить другие метрики на $\RR$.

Пусть $f \colon [0, +\infty) \to \RR$ — строго выпуклая неотрицательная функция, равная нулю только при $x = 0$. Тогда функция $d(x, y) = f \big( |x-y| \big)$ является метрикой на $\RR$.

Пусть теперь мы в $\RR^n$. Будем мерить расстояние между точками $x = (x_1, x_2, \dotsc, x_n)$ и $y = (y_1, y_2, \dotsc, y_n)$.

Стандартная Евклидова метрика на $\RR^n$ определяется как

Эту метрику мы все использовали ещё в школе, когда мерили расстояния между точками на плоскости и в пространстве.

Эту метрику можно обобщить до $p$-метрики Гёльдера

Устремив в этой метрике $p$ к бесконечности мы получим $\max\limits$-метрику

Еще одна широко используемая метрика — метрика Минковского

Пространство может быть и дискретным. Например, возьмем две битовые строки $a, b \in \{0, 1\}^n$ и посмотрим на количество различных битов. Мы задали метрику

Тривиальным примером является метрика, задающая дискретную топологию. При неё все точки пространства находятся друг от друга на расстоянии $1$

Пусть $(X, d)$ — метрическое пространство. Подобно тому, как мы вводили интервалы в $\RR$ и $\RR^n$, можно ввести на $(X, d)$ понятие шаров и окрестностей точек.

Посмотрим на то, как выглядят шары в $\RR^2$ при разных метриках

Шары могут иметь совсем уж противоестественную форму, так что буквально понимать слово «шар» не надо.

Не путайте: топология — это не геометрия, и даже не «форма» множества. Это просто способ формально задать, какие подмножества считать окрестностями. Одно и то же множество $X$ может нести много разных топологий — от тривиальной, в которой открыты только $\nothing$ и $X$ до дискретной, в которой открыты все подмножества. От выбора топологии напрямую зависит, какие последовательности сходятся, а какие — нет.

Также обращаю внимание на третье правило: там речь идёт именно о конечном пересечении. Для бесконечного пересечения это, вообще говоря, неверно — даже в $\RR$ при стандартной топологии пересечение открытых интервалов $\bigsect_{n=1}^\oo (-1/n, 1/n) = \{ 0 \}$ уже не является открытым.

Вот теперь можно сделать то, ради чего топология в принципе придумывалась — определить понятие окрестности точек.

Любое открытое множество, содержащее точку $a$, называется окрестностью точки $a$ и обозначается $\suburb(a)$. Если убрать из этого множества саму точку $a$, то получится проколотая окрестность точки $a$, которая обозначается $\osuburb(a) \defeq \suburb(a)$.

Через окрестности можно дать объяснение понятие открытого и замкнутого множества. Множество называется открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит и какую-то её окрестность. Множество называется замкнутым, если его дополнение открыто.

Из определения топологии следует, что объединение открытых множеств открыто, и пересечение конечного числа открытых множеств открыто; пересечение замкнутых множеств замкнуто, и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Например, у множества $[1, 2] \subset \RR$ внутренними являются все точки из $(1, 2)$, а внешними из $(-\infty, 1) \union (2, +\infty)$.

Для шара $B(a, r)$ множество граничных точек — сфера $\{ x \in X : d(a, x = r) \}$

Внутренность множества $A$ — множество всех внутренних точек $A$

Граница множества $A$ — множество всех граничных точек $A$

Также для множества $A$ можно определить внешность — внутренность его дополнения. Специального обозначения для внешности множества нет, записывается это явно $\interior (X \without A) = \interior A^\complement$

Про прикосновения

Множество накопления множества $A$ — множество всех точек накопления $A$.

Замыкание множества $A$ — объединение множества $A$ и всех его предельных точек.

Любое множество $A$ в топологическом пространстве $X$ разбивает топологическое пространство $X$ на три попарно непересекающихся множества

Эти множества — внутренность множества $A$, граница множества $A$ и внешность множества $A$. Как следствие получаем, что граница внутренности и граница внешности любого множества совпадают.

Внутренность, замыкание и границу можно выражать друг через друга.

Начнём с того, как можно выразить границу через замыкания

Внутренность и замыкание — двойственные операции

Граница выражается через замыкание и внутренность

Операции замыкания и взятия внутренности идемпотентны

Операция взятия границы почти идемпонентна: вместо равенства там включение

Например, в пространстве $\RR$ со стандартной топологией множество $\QQ$ имеет границу $\boundary \QQ = \closure \QQ \sect \closure (\RR \without \QQ) = \RR \sect \RR = \RR$, а граница этой границы — пустое множество: $\boundary (\boundary \QQ) = \boundary \RR = \nothing$.

Равенство $\boundary (\boundary A) = \boundary A$ выполняется только если $\boundary A$ — замкнутое множество без внутренних точек, то есть $\interior \boundary A = \nothing$. В этом случае

Примеры метрических пространств

• Евклидово пространство $\EE^n = (\RR^n, d_e)$,
  где $d_e (x, y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + \dotsb + (x_n-y_n)^2}$ — евклидова метрика.
• Дискретная топология, где $X$ — любое, а $d(x, y) = [x != y]$
• Пространство $C[a,b]$,
  $X$ — все непрерывные на $[a, b]$ функции, и $d(f, g) = \max\limits_x |f(x) - g(x)|$.
• Пространство $C^k[a,b]$, $X$ — все $k$ раз дифференцируемые на $[a, b]$ функции,
  и $d(f, g) = \max\limits \bigl|f(x) - g(x)\bigr| + \max\limits \bigl|f'(x) - g'(x)\bigr| + \dotsb + \max\limits \bigl|f^{(k)}(x) - g^{(k)}(x)\bigr|$.
• Пространство $\underset{\tiny \text{непр.}}{\LLL^1}[a,b]$: $X$ — множество непрерывных функций на $[a, b]$,
  и $d(f, g) = \int\limits\limits_a^b \bigl|f(t) - g(t)\bigr| dt$.
• Пространство $\ell_\infty$,
  $X$ — все ограниченные последовательности, и $d(a_n, b_n) = \sup |a_n - b_n|$.
• Подпространства $c$ (сходящиеся последовательности) и $c_0$ (бесконечно малые последовательности) метрического пространства $\ell_\infty$ также являются метрическими.
• $p$-адическое метрическое пространство,
  $X = \ZZ$, и $d(m, n) = p^{-a}$, где $p^a$ — наибольшая степень $p$, на которую делится $m-n$.

Ультраметрическое пространство $(X, d)$ — особый вид метрического пространства, в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника $d(x, y) <= \max\limits_{z \;\! \in \;\! X} \bigl\{d(x, z), d(y, z)\bigr\}$