Числа, степени и логарифмы

Первые классы чисел

Натуральное число — штука, которую мы используем при счете.

\NN = \left\{ 1, 2, 3, \dotsc \right\}

Целое число — натуральное число, $0$ или число, противоположное натуральному.

\ZZ = \left\{ \dotsc, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dotsc \right\}

Рациональное число — отношение целого числа и натурального.

\QQ = \left\{ \frac{m}{n} \mid \forall\, m \in \ZZ ~\text{и}~ n \in \NN \right\}

Аксиома Архимеда

Для рациональных чисел $r$ и $q$ таких, что $0 \lt r \lt q$ , существует натуральное число $n$ такое, что

q < n \cdot r

Множество рациональных чисел не является полным. Например, рассмотрим два множества $A = \{ r \in \QQ \mid r \gt 0 ~\text{и}~ r^2 \lt 2 \}$ и $B = \{ r \in \QQ \mid r \gt 0 ~\text{и}~ r^2 \gt 2 \}$ . Не существует числа $x$ такого, что $A \le x \le B$ (здесь выражение $A \le x$ означает, что $x$ не меньше любого элемента из $A$ ).

Свойство непрерывности

Числовое множество $X$ называется непрерывным, если для любого разбиения $X$ на два непересекающихся множества $X = A \djunion B$ , для которых верно $A \lt B$ , выполнено

A \ni \sup A ~\text{и}~ B \notni \inf B \quad\text{или}\quad A \notni \sup A ~\text{и}~ B \ni \inf B

Запись $A \lt B$ означает, что любой элемент множества $A$ меньше любого элемента множества $B$ .

Действительные числа

Первое числовое множество, являющееся полным — множество действительных чисел.

Действительное число — величина $x$ , c десятичным представлением $x = n + 0. d_1 d_2 d_3 d_4 ...$ , для любого $k$

n + \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{10^2} + \frac{d_3}{10^3} + \dotsb + \frac{d_k}{10^k} \le x \lt n + \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{10^2} + \frac{d_3}{10^3} + \dotsb + \frac{d_k}{10^k} + \frac{1}{10^k}

Множество действительных чисел определяется как

\RR = \{n + 0. d_1 d_2 d_3 d_4 ... \,;~ n \in \ZZ ~\text{и}~ 0 \le d_i \le 9\}

Комплексные числа

Часто сложные проблемы, возникающие при оперировании целыми числами, решаются действительными. А сложные проблемы, возникающие с действительными числами решаются с помощью более общего класса чисел — комплексными. Это числа $z$ , представимые в виде $z = x + iy$ .

\CC = \{x + iy \,;~ x, y \in \RR \}

$i$ — мнимая единица, особое число, для которого верно $i^2 = -1$ .

Число $x = \Re z$ называется действительной частью числа $z$ , а число $y = \Im z$ мнимой частью.

Теперь определим величину, называемую модулем комплексного числа $z = x + iy$ как

|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\bigl(\Re z\bigr)^2 + \bigl(\Im z\bigr)^2}

Степени

Степень числа $n$ — число

n^a = \underbrace{n \cdot n \cdot n \dotsm n \cdot n}_{a ~\text{раз}}

Упражнения

Пусть $x = 0. a_1 a_2 a_3 ...$ и $y = 0. b_1 b_2 b_3 ...$ . Сформулируйте правило, на основе которого можно по значениям $a_i$ и $b_i$ определить, какое из чисел $x$ и $y$ больше.