Ряды

В традиционных курсах математического анализа тему рядов часто излагают по частям: сначала числовые ряды, потом функциональные, далее степенные, тригонометрические, комплексные... Каждый раз заново определяют, что такое сходимость, остаток, признаки сходимости. Читатель может подумать, что перед ним десятки разных теорий.

На самом деле это одна и та же идея, лишь реализованная в разных окружениях. Ряд — это не «сумма бесконечного числа чисел», а предел последовательности частичных сумм в некотором пространстве. Если это пространство — вещественная прямая, мы получаем числовые ряды. Если пространство состоит из функций — функциональные. Если из комплексных чисел — комплексные. И так далее.

Здесь мы пойдём от общего к частному. Сначала мы сформулируем понятие ряда в самом общем виде, который допускает современная математика. Это позволит нам один раз установить базовые определения и общие принципы сходимости, а затем — просто подставлять нужное пространство, как модуль в программе.

Я понимаю, что для некоторых читателей такой подход может показаться излишне абстрактным. Но поверьте — это не усложнение, а упрощение. Как программисты пишут общие функции, а не копипастят код под каждый тип данных, так и математик стремится выделить общее ядро, чтобы не повторять одни и те же рассуждения снова и снова.

Если вы впервые сталкиваетесь с языком пространств и топологий — не бойтесь. Мы будем двигаться медленно, и каждый раз, когда появится общая конструкция, мы тут же проиллюстрируем её на знакомом примере: числовых или функциональных рядах.

В принципе, линейные пространства можно определять над любым полем. Однако топологическое линейное пространство, в котором имеет смысл анализ (пределы, сходимость, непрерывность), требует, чтобы поле скаляров само несло «хорошую» топологию, а именно, чтобы пределы были единственны, топология должна быть хаусдорфовой. Теорема Понтрягина показывает, что в классе связных локально компактных полей такими являются только поля $\RR$ и $\CC$ . Именно в этом контексте развивается теория рядов, интегралов и операторов. Другие поля, например, $p$ -адические, порождают альтернативные теории, но они требуют иного понимания сходимости и выходят за рамки нашего раздела.

Ряд и его сходимость

Пусть $X$ — топологическое линейное пространство над полем $K$ (это поле $\RR$ или $\CC$ ).

Пусть дана последовательность $x_n$ элементов нашего пространства $X$ .

Рассмотрим для последовательности $x_n$ новую последовательность частичных сумм $S_N$ :

S_M \defeq \sum\limits_{n=1}^N x_n

Если последовательность $S_N$ сходится в топологии пространства $X$ , то есть если существует такой элемент $S \in X$ , что

\lim\limits_{N \to \oo} S_N = S

то говорят, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo x_n$ сходится к $S$ . Пишут $\sum\limits_{n=1}^\oo x_n = S$ .

Если предела не существует, то говорят, что ряд расходится.

примеры

Остаток ряда

Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo x_n$ сходится к сумме $S$ , то для любого числа $N \ge 1$ можно определить остаток

R_N = S - S_N = S - \sum\limits_{n=1}^N = \sum\limits_{n=N+1}^\oo x_n

Остаток измеряет погрешность приближения суммы ряда его частичными суммами. У сходящихся рядов остаток при $N \to \oo$ в нормированных пространствах с нормой $\|\cdot\|$ остаток $\| R_N \| \to 0$ , а в общем случае $R_N \to \oo$ в топологии $X$ при $N \to \oo$ .

Если же остаток не стремится к $0$ , то темп роста остатка можно использовать для оценки темпа роста частичных сумм, и, следовательно, самого ряда.

Давайте простроим поймём свалившуюся к нам на голову абстракцию и посмотрим в качестве примера на ряд

\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{\sin (nx)}{n^2}

Этот ряд может являться числовым рядом $\RR$ , если зафиксировать число $x$ . Этот ряд сходится, потому что $|\sin(nx)/n^2| \le 1/n^2$ , а ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo 1/n^2$ сходится.

Этот ряд может являться функциональным рядом в $\CCC[0, 2\pi]$ . Он сходится равномерно, потому что $\| \sin(nx)/n^2 \|_\oo \le 1/n^2$ , и по признаку Вейерштрасса, который мы изучим далее, он равномерно сходится.

Это один и тот же формальный ряд, но его анализ зависит от пространства, в котором мы его рассматриваем. И в обоих случаях он подчиняется единому определению через предел частичных сумм.

Определение ряда прекрасно демонстрирует единство математики: одна и та же идея, предел частичных сумм, охватывает числовые, функциональные, операторные и даже распределённые ряды. Однако, как часто бывает, универсальность стоит дорого.

В произвольном топологическом линейном пространстве мы можем определить сходимость, но не можем эффективно её проверить. Нет способа сказать, насколько мал следующий член ряда или насколько короток его хвост. Мы не можем сравнивать элементы по размеру, потому что в общей топологии нет понятия длины или нормы. А без этого невозможны признаки сходимости, оценки остатков, сравнения с известными рядами и буквально всё то, что делает теорию рядов полезной на практике.

Чтобы продвинуться дальше, нам нужно обогатить структуру. Самый естественный шаг — предположить, что наше пространство $X$ допускает норму $\|\cdot\|$ , задающую топологию. Тогда расстояния становятся измеримыми, хвосты оцениваемыми, а сходимость проверяемой через неравенства.

Но и этого мало. Даже имея норму, мы можем столкнуться с ситуацией, когда частичные суммы «стремятся к чему-то», но этого «чего-то» внутри пространства нет. Чтобы гарантировать, что всякий «разумный» ряд действительно имеет сумму в том же пространстве, мы дополнительно требуем полноту: всякая фундаментальная последовательность должна сходиться.

Итак, наше топологическое линейное пространство превращается в банахово пространство: нормированное линейное пространство, полное по метрике, порождённой нормой, и имеющей топологию, порождённую нормой. Теперь мы имеем рабочую теорию рядов, с помощью которой мы можем доказывать сходимость, не зная суммы, строить решения уравнений как ряды и переносить интуицию от чисел к функциям и операторам.

Последовательности частичных сумм являются последовательностями, а значит для установления факта их сходимости можно использовать все признаки и теоремы, которые мы использовали для обычных последовательностей.

Давайте начнём с критерия Коши и фундаментальных последовательностей.

Вспомним, для начала, что такое фундаментальная последовательность, и построим определение фундаментальной последовательности частичных сумм.

Последовательность $a_n$ называется фундаментальной, если

\forall\, \varepsilon > 0 \? \exists\, N \in \NN \? \forall\, n, m \ge N \quad \| a_n - a_m \| < \varepsilon

У нас последовательность $a_n$ является последовательностью частичных сумм последовательности $x_k$ , а значит $a_n = \sum\limits_{k=1}^n x_k$ и $\| a_n - a_m \| = \left\| \sum\limits_{k=n+1}^m x_k \right\|$ . Тогда можно дать определение фундаментальной последовательности частичных сумм

Последовательность частичных сумм последовательности $x_k$ называется фундаментальной, если

\forall\, \varepsilon > 0 \? \exists\, N \in \NN \? \forall\, n, m \ge N \quad \left\| \sum\limits_{k=n+1}^m x_k \right\| < \varepsilon

Мы работаем в банаховых пространствах, а значит, любая фундаментальная последовательность сходится. То есть если последовательность частичных сумм удовлетворяет определению фундаментальной последовательности

Числовые ряды

Числовой ряд и его сходимость

Пусть задана последовательность чисел $a_n$ над действительным полем. Выражение

\sum\limits_{n=1}^\oo a_n = a_1 + a_2 + \dotsb + a_n + \dotsb

называют числовой ряд, а числа $a_n$ — членами ряда. Ряду ставят в соответствие последовательность частичных сумм

S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \dotsb + a_n

Ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo a_n$ называют сходящимся, если существует конечный предел частичных сумм

\lim\limits_{n \to \oo} S_n = S

В этом случае число $S$ называют суммой ряда. Если такого предела нет или он бесконечен, ряд называют расходящимся.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда, по определению, равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности частичных сумм $S_n$ .

Обратно, какую бы последовательность $a_n$ мы ни взяли, вопрос о наличии у неё конечного предела можно свести к вопросу о сходимости ряда, для которого частичными суммами как раз и будут значения $a_n$ .

Рассмотрим ряд

a + aq + aq^2 + \dotsb + aq^{n-1} + aq^n + \dotsb

Его частичная сумма равна

S_n = \frac{a \cdot (1 - q^n)}{1 - q} \quad при\ q \ne 1

Если

S_n \xrightarrow[n\to\oo]{} S = \frac{a}{1 - q}\ при\ \lvert q \rvert < 1

то ряд сходится, а $S$ является его суммой. При $\lvert q \rvert \ge 1$ последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, и ряд расходится.

Остаток ряда

Если в ряде $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ отбросить первые $m$ членов, то получится ряд

a_{m+1} + a_{m+2} + \dotsb + a_{m+k} + \dotsb = \sum\limits_{k=m+1}^\oo a_k

называемый остатком ряда после $m$ -го члена. Обозначим этот остаток через $R_m$ .

Пусть ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ сходится и его сумма равна $S$ . Введём остаток ряда после $m$ -го члена:

R_m = \sum\limits_{k=m+1}^\oo a_k

Тогда для частичных сумм $S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$ имеем

S = S_m + R_m

откуда

R_m = S - S_m.

Поскольку $S_m \to S$ при $m \to \oo$ , то

R_m = S - S_m \xrightarrow[m\to\oo]{} 0

Таким образом, сходимость ряда эквивалентна существованию числа $S$ и остатков $R_m$ , для которых $S_m = S - R_m$ и $R_m \to 0$ при $m \to \oo$ .

Необходимое условие сходимости

Пусть числовой ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ сходится. Тогда его общий член обязан стремиться к нулю:

\lim\limits_{k \to \oo} a_k = 0

В частности, если $\lim\limits_{k \to \oo} a_k \ne 0$ или этого предела не существует, то ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ расходится.

Обозначим частичные суммы ряда через $S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$ , где $S_n \to S$ при $n \to \oo$ для некоторого конечного числа $S$ . Тогда

a_n = S_n - S_{n-1}

а так как $S_n \to S$ и $S_{n-1} \to S$ при $n \to \oo$ , получаем

a_n = S_n - S_{n-1} \xrightarrow[n\to\oo]{} S - S = 0.

Значит, без условия $a_n \to 0$ ряд сходиться не может.

Чтобы увидеть, как работает это необходимое условие на практике, рассмотрим простой пример: ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo 1$

\lim\limits_{k \to \oo} a_k = \lim\limits_{k \to \oo} 1 = 1 \ne 0

По необходимому условию сходимости такой ряд не может сходиться: его частичные суммы $S_n = 1 + 1 + \dotsb + 1 = n$ неограниченно растут, и ряд действительно расходится.

Однако условие $a_k \to 0$ само по себе недостаточно для вывода сходимости ряда: существуют как расходящиеся ряды с $a_k \to 0$ (например, гармонический ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo 1/{k}$ ), так и сходящиеся (например, гармонический ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo 1/{k^2}$ ).

Эталонные гармонические и обобщённые гармонические ряды

Гармонический ряд

Ряд

\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n}

называют гармоническим или эталонным гармоническим рядом. Он служит базовым примером положительного ряда с очень медленно убывающим общим членом.

Рассмотрим функцию $f(x) = 1/x$ на промежутке $[1, +\oo)$ . Она непрерывна, положительна и убывает, поэтому к ряду

\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n}

можно применить интегральный признак сходимости.

\int\limits_{1}^{N} \frac{1}{x}\,dx = \ln N

При $N \to \oo$ имеем $\ln N \to +\oo$ , то есть несобственный интеграл

\int\limits_{1}^{\oo} \frac{1}{x}\,dx

расходится. По интегральному признаку расходится и гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n}$ ; это классический пример медленно расходящегося ряда.

Обобщённый гармонический ряд

Для числа $p > 0$ ряд

\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n^p}

называют обобщённым гармоническим. При $p = 1$ он совпадает с гармоническим рядом и служит эталоном для сравнения с рядами вида $\sum\limits a_n$ при $a_n \sim 1/n^p$ .

Критерий сходимости обобщённого гармонического ряда

Для ряда

\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n^p}, \quad p > 0

выполняется:

ряд сходится тогда и только тогда, когда $p > 1$ , и расходится, когда $0 < p \le 1$ .

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-p}$ на $[1, +\oo)$ . Она непрерывна, положительна и убывает, поэтому к ряду

\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n^p}

применим интегральный признак.

Случай $p \ne 1$ . Вычислим несобственный интеграл:

\int\limits_{1}^{N} x^{-p}\,dx = \left. \frac{x^{1-p}}{1-p} \right|_{1}^{N} = \frac{N^{1-p} - 1}{1-p}

При $p > 1$ показатель $1-p < 0$ , поэтому $N^{1-p} \to 0$ и предел интеграла конечен:

\int\limits_{1}^{\oo} x^{-p}\,dx = \lim\limits_{N \to \oo} \frac{N^{1-p} - 1}{1-p} = \frac{1}{p-1}

Интеграл сходится, следовательно, по интегральному признаку сходится и ряд при $p > 1$ .

При $0 < p < 1$ имеем $1-p > 0$ и $N^{1-p} \to +\oo$ , так что интеграл

\int\limits_{1}^{\oo} x^{-p}\,dx

расходится. Тогда по интегральному признаку расходится и ряд при $0 < p < 1$ .

Случай $p = 1$ уже рассмотрен: гармонический ряд

\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n}

расходится, как показано выше.

Итак, ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n^p}$ сходится при $p > 1$ и расходится при $0 < p \le 1$ . Теорема доказана.

Чтобы получить и необходимый, и достаточный критерий сходимости, переходят к критерию Коши, который формулируется непосредственно в терминах остатков ряда и позволяет строго отличать сходящиеся ряды от расходящихся даже в случаях, когда общий член стремится к нулю.

Критерий Коши сходимости ряда

Пусть $S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$ — последовательность частичных сумм числового ряда $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ найдётся номер $N \in \NN$ , такой что для всех $n > m \ge N$ выполняется

\bigl\lvert S_n - S_m \bigr\rvert = \left\lvert a_{m+1} + a_{m+2} + \dotsb + a_n \right\rvert < \varepsilon

То есть, начиная с некоторого места, сумму любого конечного остатка ряда можно сделать сколь угодно малой.

Пример. Рассмотрим ряд $\sum\limits_{k=0}^\oo \left(1/3\right)^k$ . Его частичные суммы равны

S_n = \sum\limits_{k=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \Bigl(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\Bigr)

Проверим критерий Коши. Для $n > m$ имеем

S_n - S_m = \sum\limits_{k=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^k - \sum\limits_{k=0}^m \left(\frac{1}{3}\right)^k = \sum\limits_{k=m+1}^n \left(\frac{1}{3}\right)^k

Это конечный остаток, поэтому

\sum\limits_{k=m+1}^n \left(\frac{1}{3}\right)^k = \left(\frac{1}{3}\right)^{m+1} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-m}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{m+1} \cdot \Bigl(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-m}\Bigr)

Оценим модуль разности:

\bigl\lvert S_n - S_m \bigr\rvert = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{m+1} \cdot \Bigl\lvert 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-m} \Bigr\rvert \le \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{m+1}

Так как $\left(1/3\right)^{m+1} \to 0$ при $m \to \oo$ , то для любого $\varepsilon > 0$ можно выбрать номер $N$ так, что

\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{N+1} < \varepsilon

Тогда для всех $n > m \ge N$ выполнено

\bigl\lvert S_n - S_m \bigr\rvert \le \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{m+1} \le \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{N+1} < \varepsilon

Значит, по критерию Коши ряд $\sum\limits_{k=0}^\oo \left(1/3\right)^k$ сходится.

Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Признак сравнения положительных рядов

Пусть ряды $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^\oo b_k$ имеют неотрицательные члены и существует номер $k_0$ , такой что для всех $k \ge k_0$ выполнено неравенство $0 \le a_k \le b_k$ .

Тогда из сходимости ряда $\sum\limits_{k=1}^\oo b_k$ следует сходимость ряда $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ .

Например, нам нужно исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo \bigl( 1/n^2 + n + 1 \bigr)$ : Рассмотрим ряд . Сначала проверим необходимое условие: $\lim\limits_{n \to \oo} \bigl(1/n^2 + n + 1 \bigr) = 0$ — оно выполняется, но само по себе ничего не решает. Так как члены ряда неотрицательны, применим признак сравнения. Возьмём сходящийся ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo 1/n^2$ . Для любого $n$ имеем

0 \le \frac{1}{n^2 + n + 1} \le \frac{1}{n^2}

Следовательно, по признаку сравнения ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo \big( 1/n^2 + n + 1 \bigr)$ сходится.

Предельный признак сравнения положительных числовых рядов

Пусть заданы два ряда с положительными членами $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^\oo b_k$ , и существует номер $k_0 \in \NN$ такой, что $a_k > 0$ и $b_k > 0$ при всех $k \ge k_0$ .

Предположим, что существует конечный, ненулевой предел

\lim\limits_{k \to \oo} \frac{a_k}{b_k} = A, \quad 0 < A < \oo

Тогда ряды $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ и $\sum\limits_{k=1}^\oo b_k$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Исследуем на сходимость ряд $\sum\limits_{n=2}^\oo \bigl( 1/n^2 - n \bigr)$ . Для сравнения возьмём сходящийся ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo \bigl( 1/n^2 \bigr)$ .

Тогда

\lim\limits_{n \to \oo} \frac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n \to \oo} \Bigl( \frac{1}{n^2 - n}\Big/\frac{1}{n^2} \Bigr) = \lim\limits_{n \to \oo} \frac{n^2}{n^2 - n} = 1

Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд $\sum\limits_{n=2}^\oo \bigl( 1/n^2 - n \bigr)$ сходится вместе с рядом $\sum\limits_{n=1}^\oo \bigl( 1/n^2 \bigr)$ .

Признак Даламбера

Пусть задан числовой ряд с положительными членами $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ и существует конечный предел

\lim\limits_{k \to \oo} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \beta

Тогда:

если $\beta < 1$ , то ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ сходится;

если $\beta > 1$ , то ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ расходится;

если $\beta = 1$ , признак Даламбера не даёт информации о сходимости ряда.

Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo \Bigl( (n+1)! \Big/ {(n+5)\cdot 7^n} \Bigr)$ . Тогда

\lim\limits_{n \to \oo} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n \to \oo} \Biggl( \frac{(n+2)!}{(n+6)\cdot 7^{n+1}} \Bigg/ \frac{(n+1)!}{(n+5)\cdot 7^n} \Biggr) = \lim\limits_{n \to \oo} \frac{(n+2)\cdot(n+5)}{7\cdot(n+6)} = +\oo > 1

По признаку Даламбера данный ряд расходится.

Радикальный признак Коши

Пусть $\sum\limits_{k=1}^\oo a_k$ — положительный числовой ряд и существует предел

\lim\limits_{k \to \oo} \sqrt[n]{a_k} = \beta

если $\beta < 1$ ряд сходится;

если $\beta > 1$ ряд расходится;

если $\beta = 1$ из признака ничего нельзя заключить о сходимости.

Исследуем ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo \bigl( 5n+4 \bigl/ 2n-1 \bigr)^{n^2}$ . Тогда

\lim\limits_{n \to \oo} \sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n \to \oo} \sqrt[n]{\left( \frac{5n+4}{2n-1} \right)^{n^2}} = \lim\limits_{n \to \oo} \left( \frac{5n+4}{2n-1} \right)^{n} = \lim\limits_{n \to \oo} \left( \frac{5}{2} \right)^{n} = +\oo > 1

по радикальному признаку Коши этот ряд расходится.

Интегральный признак сходимости

Пусть $f \colon [1, +\oo) \to \RR$ — непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, $a_n = f(n)$ при $n \in \NN$ .

Тогда несобственный интеграл $\int\limits_{1}^{\oo} f(x) dx$ и ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo a_n$ сходятся или расходятся одновременно.

Функция $f$ монотонно убывает. Значит, для $x \in [k, k+1]$ , выполнено неравенство $f(k) \ge f(x) \ge f(k+1)$ , и

\int\limits_{k}^{k+1} f(k) dx \;\! \ge \;\! \int\limits_{k}^{k+1} f(x) dx \ge \int\limits_{k}^{k+1} f(k+1) dx \implies f(x) \;\! \ge \;\! \int\limits_{k}^{k+1} f(x) dx \ge f(k+1)

Обозначим $S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$ — частичная сумма ряда $\sum\limits_{n=1}^\oo a_n$ .

Пусть $\int\limits_{1}^{\oo} f(x) dx$ сходится. Тогда $S_n - f(1) = f(2) + f(3) + \dotsb + f(n) \le \int\limits_1^n f(x) dx \le \int\limits_1^\oo f(x) dx$

Последовательность $S_n$ частичных сумм ограничена, и при этом возрастает. Значит, ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo a_n$ сходится.

Классический пример применения интегрального признака — изучение рядов $\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n^p}$ , $p > 0$ . Для функции $f(x) = \frac{1}{x^p}$ легко показать, что ряд и интеграл $\int\limits_1^\oo x^{-p}\,dx$ сходятся одновременно. В результате получаем:

\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n^p} \text{ сходится } \Longleftrightarrow p > 1

Знакочередующиеся ряды и абсолютная сходимость

Знакочередующийся ряд

Числовой ряд вида $\sum\limits_{k=1}^\oo (-1)^{k+1} a_k$ называют знакочередующимся, если $a_k \ge 0$ для всех $k \in \NN$ , то есть его члены попеременно положительны и отрицательны: $a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dotsb$ .

Признак Лейбница

Пусть $a_k$ — последовательность неотрицательных чисел, $a_k \ge 0$ при всех $k \in \NN$ , и рассмотрим ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo (-1)^{k+1} a_k$ . Предположим, что существует номер $k_0 \in \NN$ такой, что последовательность $a_k$ начиная с $k_0$ монотонно убывает и стремится к нулю:

a_{k+1} \;\! \le \;\! a_k \quad (k \;\! \ge \;\! k_0), \quad \lim\limits_{k \to \oo} a_k = 0

Тогда знакочередующийся ряд $\sum\limits_{k=1}^\oo (-1)^{k+1} a_k$ сходится.

Рассмотрим пример: исследуем на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo \bigl( (-1)^{n+1} / n \bigr)$ .

Очевидно, что ряд является знакочередующимся, а члены $a_n = 1 / n$ монотонно убывают и стремятся к нулю:

1 > \frac{1}{2} > \dotsb > \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} > \dotsb

\lim\limits_{n \to \oo} \frac{1}{n} = 0

По признаку Лейбница данный ряд является сходящимся.

Условная и абсолютная сходимость

Сходящийся ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo a_n$ называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo \lvert a_n \rvert$ .

В противном случае, когда $\sum\limits_{n=1}^\oo a_n$ сходится, но $\sum\limits_{n=1}^\oo \lvert a_n \rvert$ расходится, ряд называют условно сходящимся.

Функциональные ряды

Все рассмотренные выше признаки и критерии сходимости числовых рядов можно применять к функциональным рядам, подставляя фиксированное значение $x$ и получая обычный числовой ряд. Поэтому начнём с понятий сходимости в точке и области сходимости.

Функциональный ряд

Пусть на множестве $E \subset \RR$ задана последовательность функций $u_1(x),\ u_2(x),\ \dotsc,\ u_n(x),\ \dotsc$

Формальное выражение

\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x) = u_1(x) + u_2(x) + \dotsb + u_n(x) + \dotsb

называется функциональным рядом. Функции $u_n(x)$ называются членами функционального ряда.

Сходимость функционального ряда в точке

Пусть на множестве $E \subset \RR$ задана последовательность функций $u_n \colon E \to \RR$ , и рассмотрен функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x)$ .

Зафиксируем точку $x_0 \in E$ и рассмотрим числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x_0)$ . Говорят, что функциональный ряд сходится в точке $x_0$ , если числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x_0)$ сходится.

В этом случае число

S(x_0) = \sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x_0)

называют значением суммы ряда в точке $x_0$ .

Пример. Пусть на $E = \RR$ задан функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x)$ с членами

u_n(x) = \frac{x^n}{n^2}

При $x = 1$ получаем числовой ряд

\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(1) = \sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n^2}

Это ряд сходится (вспоминай интегральный признак), поэтому функциональный ряд сходится в точке $x = 1$ и

S(1) = \sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n^2}

Область сходимости функционального ряда

Пусть на множестве $E \subset \RR$ задан функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x)$ , и для каждого $x \in E$ рассматривается числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x)$ с членами $u_n(x)$ .

Множество $D = \left\{ x \in E : \sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x) :\text{ сходится как числовой ряд} \right\}$ называют областью сходимости функционального ряда $\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x)$ .

Рассмотрим функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo u_n(x)$ с членами

u_n(x) = \frac{x^n}{n^2}

Для фиксированного $x$ получаем числовой ряд

\sum\limits_{n=1}^\oo \frac{x^n}{n^2}

Применим радикальный признак к ряду по $n$ :

\sqrt[n]{\bigl\lvert u_n(x) \bigr\rvert} = \sqrt[n]{\frac{\lvert x \rvert^n}{n^2}} = \lvert x \rvert \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n^2}} \xrightarrow[n \to \oo]{} \lvert x \rvert

Если $\lvert x \rvert < 1$ , имеем $\lvert x \rvert < 1$ , поэтому ряд $\sum\limits_{n=1}^\oo x^n / n^2$ сходится абсолютно.

Если $\lvert x \rvert > 1$ , то $\lvert u_n(x) \rvert = \lvert x^n \rvert / n^2 \not\to 0$ , и ряд расходится, так как необходимое условие сходимости нарушено.

Осталось рассмотреть граничные точки:

x = 1: \quad \sum\limits_{n=1}^\oo \frac{1}{n^2} \text{ сходится (интегральный признак; p = 2 > 1)}

x = -1: \quad \sum\limits_{n=1}^\oo \frac{(-1)^n}{n^2} \text{ сходится (абсолютно)}

Следовательно, область сходимости данного функционального ряда имеет вид

D = [-1, 1]

Степенные ряды

Степенной ряд

Пусть задана последовательность действительных чисел $c_0, c_1, c_2, \dotsc$ и некоторое фиксированное число $x_0 \in \RR$ (центр разложения). Выражение

\sum\limits_{n=0}^\oo c_n (x - x_0)^n = c_0 + c_1 (x - x_0) + c_2 (x - x_0)^2 + \dotsb + c_n (x - x_0)^n + \dotsb

называется степенным рядом с центром в точке $x_0$ .

Для каждого фиксированного $x$ мы получаем числовой ряд по степеням $(x - x_0)$ . Поэтому степенной ряд является частным случаем функционального ряда, а вопрос о его сходимости — частным случаем вопроса о сходимости функционального ряда.

Область сходимости степенного ряда

Для любого степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\oo c_n (x - x_0)^n$ существует число $R \in [0, +\oo]$ (возможно, равное нулю или бесконечности), называемое радиусом сходимости ряда, такое что:

при $\lvert x - x_0 \rvert < R$ степенной ряд сходится абсолютно;

при $\lvert x - x_0 \rvert > R$ степенной ряд расходится;

при $\lvert x - x_0 \rvert = R$ поведение ряда нужно исследовать отдельно: ряд может как сходиться, так и расходиться.

Множество всех $x$ , для которых ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда. В действительном случае оно имеет вид интервала

\left\{ x \in \RR : \lvert x - x_0 \rvert < R \right\}

вместе с некоторыми (возможно, ни одной, одной или обеими) граничными точками $x_0 - R$ и $x_0 + R$ , если в них ряд тоже сходится.

Радиус сходимости степенного ряда

Пусть задан степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\oo c_n (x - x_0)^n$ . Его радиусом сходимости называют число $R \in [0,+\oo]$ такое, что

при $\lvert x - x_0 \rvert < R$ ряд сходится, при $\lvert x - x_0 \rvert > R$ — расходится (поведение в точках $\lvert x - x_0 \rvert = R$ нужно исследовать отдельно).

Радиус сходимости выражается формулой Коши-Адамара:

R = \frac{1}{\limsup_{n \to \oo} \sqrt[n]{\lvert c_n \rvert}}

В частности, если $\lim\limits_{n \to \oo} \sqrt[n]{\lvert c_n \rvert} = L$ существует, то $R = \frac{1}{L}$ ; при $L = 0$ имеем $R = +\oo$ , а при $L = +\oo$ — $R = 0$ .

Рассмотрим степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\oo (x-1)^n / n!$

Коэффициенты этого ряда задаются формулой

c_n = \frac{1}{n!}

По формуле Коши-Адамара получаем

L = \limsup_{n \to \oo} \sqrt[n]{\lvert c_n \rvert} = \lim\limits_{n \to \oo} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} = 0

R = \frac{1}{L} = +\oo

то есть ряд сходится при всех $x \in \RR$ , а его область сходимости совпадает со всей прямой.