Давайте рассмотрим одну детскую задачку, которая в своё время породила очень мощную теорию, которая в современной науке применяется практически везде: от построения асимптотических оценок до теории вероятностей.

Эта детская задача — задача нахождения суммы $m$-ых степеней чисел от $1$ до $n$.

Эта задача не давала покоя немецкому математику Иоганну Фаульхаберу. В 1631 году он опубликовал свою главную работу «Academia Algebrae», в которой, помимо прочего, привёл формулы для сумм степеней вплоть до $17$-й степени, заметил, что суммы $S_m(n)$ являются многочленами от $n$, нашёл рекуррентные соотношения для этих сумм, но замкнутый вид для этих сумм он не привёл. Суммы $S_m(n)$ называются суммами Фаульхабера.

Якоб Бернулли, когда работал с суммами Фаульхабера, открыл очень важную последовательность чисел, на которой как раз строится упомянутая в самом начале мощная теория.

Давайте распишем суммы Фаульхабера для первых восьми степеней и попробуем увидеть, какую закономерность заметил Бернулли.

Можно заметить, что коэффициент при $n^{m+1}$ в $S_m(n)$ равен $1/(m+1)$.
Коэффициент при $n^{m}$ всегда $-1/2$.
Коэффициент при $n^{m-1}$ всегда равен... посмотрим... да, он равен $m/12$.
Коэффициент при $n^{m-2}$ всегда ноль.
Коэффициент при $n^{m-3}$ всегда... ну-ка, ну-ка... да, конечно, это $-m \, (m-1) \, (m-2) / 720$.
Коэффициент при $n^{m-4}$ равен нулю.

Продолжая такие рассуждения можно прийти к выводу, что коэффициент при $n^{m-k+1}$ всегда будет представлять собой некоторую константу $\GGG_k$, умноженную на $m^{\underline{k}}$. Именно это имперически нашел Бернулли, не предоставив этом никакого доказательства.

В современном виде константы $\GGG_k$ выражаются через другие числа: $\GGG_k = B_{k+1} / (k+1)!$. Вот эти новые числа $B_k$ называются числами Бернулли.

Давайте совместим пути Фаульхабера и Бернулли, получив в процессе все нужные соотношения для $S_m(n)$.

Посмотрим, чему равна на разность $k^{m+1} - (k-1)^{m+1}$, разложив $(k-1)^{m+1}$ в сумму с помощью бинома Ньютона:

Подставим вместо $k$ числа $1, 2, \dotsc, n$ и сложим все получившиеся $m$ равенств. В итоге получим, что

Так мы выразили рекуррентную формулу суммы $m$-х степеней через сумму меньших степеней

Это и есть рекуррентная формула Фаульхабера.

Если очень хорошо посмотреть, то можно, раскрыв рекурренту, обнаружить закономерность в коэффициентах при $n^j$.

Доказывать эту формулу удобнее всего по индукции. Обозначим формулу, полученную методом «хорошо посмотреть», как $\overline{S}_m(n)$. Теперь попробуем доказать, что $S_m(n) = \overline{S}_m (n)$.

Мы хотим доказать, что наше $\overline{S}_m(n)$ равно $S_j(n)$ в формуле выше при $0 \le j < m$. Начнем так, для m равного 2 будем вычитать $S_{m+1}(n)$ из обеих частей. Затем распишем каждое $S_j(n)$ c использованием $\overline{S}_m(n)$ и перегруппируем члены так, чтобы коэффициенты пристепенях n правой части оказались рядом и упростились. Введем $T = S_m(n) - \overline{S}_m(n)$

Таким образом, $T = 0$ и $S_m(n) = \overline{S}_m(n)$ что и требовалось доказать.

Несколько первых значений чисел Бернулли

Отмечу, что начиная с третьего номера все числа Бернулли с нечетными номерами равны нулю. А ещё знаки у чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.

Альтернативное определение чисел Бернулли можно дать через коэффициенты в разложении функций $x/(e^x-1)$ в ряд Маклорена

Это определение может показаться взятым с потолка, но на самом деле оно естественно возникает, если изучать суммы степеней. Давайте убедимся, что это определение согласуется с нашим предыдущим подходом через суммы Фаульхабера, и заодно откроем полезную технику — работу с производящими функциями

Мы получили достаточно мощный инструмент: теперь мы можем применять к этой функции аналитические методы, чтобы обнаруживать новые, порой неожиданные, свойства этих чисел. Давайте попробуем этот подход.

Часто в анализе небольшое видоизменение известной формулы открывает новые горизонты. Давайте посмотрим, что произойдет, если мы сделаем, казалось бы, простую замену $x = 2x$ в нашем тождестве $x/(e^x-1) = \sum\limits_{n=0}^\oo B_n / n! \cdot x^n$. Результат окажется весьма изящным и приведет нас к гиперболическим функциям.

Проведем над левой частью немного преобразований:

Давайте теперь запишем ряд Маклорена для $2x/(e^{2x}-1)$, вытащив предварительно из него два первых члена. В итоге мы получим ряд Маклорена для гиперболического котангенса.

Вот так, начав с сухих алгебраических манипуляций, мы вышли на красивую связь с гиперболическим котангенсом. А теперь давайте вчитаемся в полученное равенство. Слева у нас нечетная функция $x \cth x$. Что это нам говорит о структуре ряда справа? В правой части $x$ может быть только в четной степени. Это возможно только тогда, когда все числа Бернулли с нечетными номерами начиная с третьего равны нулю. Так мы и доказали свойство выше. Значит можно из суммы исключить все нулевые слагаемые.

Чтобы получить разложение функции с обычным котангенсом, нужно сделать комплексную замену. Подставим $x = ix$.

Подставим это в только что полученный ряд для гиперболического конангенса и получим

Вспомним, что знаки у чётных чисел Бернулли чередуются. То есть при $n \ge 1$ выполняется тождество $(-1)^{n-1} \, B_{2n} > 0$, что эквивалентно $(-1)^{n-1} \, B_{2n} = |B_{2n}|$.

Мы получили замечательное разложение котангенса в ряд. Запомните эту формулу, она — ключ к одной из самых элегантных связей в математике: связи чисел Бернулли с дзета-функцией Римана. Но чтобы увидеть эту связь, нам нужно взглянуть на котангенс под другим углом — буквально, под углом $\pi x$.

Вспомним, как выглядит дзета-функция Римана $\zeta (s)$. Про значения дзета-функции в нечетных целых точках известно мало, но существует формула для четных точек, в которой ключевую роль играют числа Бернулли!

Вернемся к котангенсу, а именно посмотрим на функцию $\pi \ctg \pi x$. Эта функция замечательна тем, что она имеет простые полюса во всех целых точках $x = n \in \ZZ$, причём вычет в каждой такой точке равен $1$. Существует классическое разложение в ряд, явно показывающее расположение этих полюсов

Чтобы связать это с нашим предыдущим разложением, умножим обе части на $x$:

Преобразуем каждое слагаемое в сумме, выделяя удобную для разложения форму:

Теперь используем формулу геометрической прогрессии $1/(1-z) = \sum\limits_{k=0}^\oo z^k$ для $|z| < 1$

При нечётных $k$ слагаемые в скобках сокращаются, а при чётных $k$ они удваиваются. Поэтому имеет смысл перейти к чётным степеням. Положим $k+1 = 2m$ и запишем

Подставляя это обратно в нашу сумму, получаем

Теперь произведём замену переменной $x = t / \pi$:

И вот перед нами два разных представления одной и той же функции $t \ctg t$. Одно мы вывели из чисел Бернулли, а другое из свойств дзета-функции. В анализе такая ситуация особенно драматична: если одна и та же функция разлагается в два разных степенных ряда, то все коэффициенты при одинаковых степенях равны между собой. Значит

Мы получили формулу для нахождения всех четных значений дзета-функции через числа Бернулли:

Теперь, когда у нас есть точная формула, мы можем, например, исследовать, как ведут себя числа Бернулли на бесконечности. Для этого нам нужно выразить числа Бернулли через дзета-функцию Римана и применить предельное значение дзета-функции $\lim\limits_{s \to \oo} \zeta (s) = 1$.

Отсюда следует, что четные числа Берунли по модулю неограниченно возрастают, и $|B_{2k}| \sim 2 \cdot (2k)! / (2\pi)^{2k}$. Чтобы убрать факториалы в асимптотике нужно использовать формулу Стирлинга:

Теперь можем записать асимптотическую формулу для модуля чисел Бернулли:

Давайте докажем, что сумма Фаульхабера $S_m(n)$ является многочленом, бонусом получив доказательство того, что числа Бернулли, появляющиеся как коэффициенты в этом многочлене, являются коэффициентами в ряде Маклорена для функции $1/(e^x-1)$.

Я намеренно буду использовать именно современный инструментарий в виде операторного исчисления, чтобы вы научились решать общие задачи общими методами.

Итак, у нас есть сумма Фаульхабера

Давайте введём оператор сдвига $E$, действующий на функцию от переменной $n$ по правилу

При этом мы знаем, что для сумм Фаульхабера верно равенство $S_m(n+1) - S_m(n) = (n+1)^m$. Это равенство можно записать в терминах нашего оператора

Оператор сдвига можно выразить через обычный оператор дифференцирования

Тогда оператор $(E-1)$ выражается через оператор дифференцирования как

Тогда с помощью обратного оператора $1/{(e^{d/dn}-1)}$ можно выразить $S_m(n)$

А сам обратный оператор $1/{(e^{d/dn}-1)}$ разлагается в ряд, коэффициенты которого являются числами Бернулли

Тогда, посчитав все производные функции $(n+1)^m$, мы сможем выразить сумму Фаульхабера. Начнём с вычисления производных

Теперь мы можем выразить сумму Фаульхабера

Как и с числами Бернулли многочлены Бернулли можно определить как коэффициенты в разложении функции:

Где $B_m(x)$ - многочлен Бернулли.

Стоит отметить, что многочлен Бернулли $m$ - ого порядка с нулевым аргументом равен $m$ - ому числу Бернулли. Тоесть выпоняется равенство:

Многочлены Бернулли играют в счислении конечных разностей ту же роль, что и степенные функции в дифференциальном исчислении, потому что они удовлетворяют разностному уравнению:

Докажем это. Для этого возьмем определение через разложение в ряд:

Если внимательно посмотреть на правую часть можно понять, что она равна $t \, e^{xt}$. Разложим эту функцию по t

Сдвинем индексацию на один вперед и приравняем к левой части выражения.

Приравниваем коэффициенты при $t^m$ и получаем исходное равенство:

С помощью этого свойства можно снова получить формулу Фаульхабера, но уже через многочлены Бернулли. А вот и она:

Если проинтегрировать левую часть равенства можно получить другое выражение искомой суммы:

Для многочленов Бернулли выполняется равенство:

Доказать это просто:

Последний элемент в сумме мы просто откидываем, потому что он равен нулю.