Гамма-функция и другие

Пытаемся обобщить понятие факториала, чтобы оно работало не только для целых чисел.

Леонард Эйлер в своем письме Христиану Гольдбаху в 1729 году пишет о своей идее прямого обобщения факториала

n!=lim⁡m→∞mn m!(n+1)m‾=lim⁡m→∞mn m!(n+1) (n+2)⋯(n+m)n! = \lim\limits_{m \to \oo} \frac{m^n \, m!}{(n+1)^{\overline{m}}} = \lim\limits_{m \to \oo} \frac{m^n \, m!}{(n+1) \, (n+2) \dotsm (n+m)}

Для целых nn факториал обозначается n!n!, однако для нецелых nn такая запись не применяется, чтобы избежать путаницы. Для нецелых nn принято обозначение, введенное Адриеном Лежандром

Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!

Функция Γ(x)\Gamma(x) называется гамма-функцией. По классическому определению

Γ(x)   ⁣=def   ⁣x!x=lim⁡m→∞mx m!xm+1‾\Gamma(x) \defeq \frac{x!}{x} = \lim\limits_{m \to \oo} \frac{m^x \, m!}{x^{\overline{m+1}}}

Леонард Эйлер в 1730 году смог придумать для гамма-функции красивое определение, работающее и для комплексных аргументов

Γ(z)=∫01(−ln⁡x)z−1 dxдля z∈C и Re⁡z>0\Gamma(z) = \int\limits_0^1 (- \ln x)^{z-1} \, dx \quad\text{для}~ z \in \CC ~\text{и}~ \Re z > 0

Адриен Лежандр в 1809 получил из этого определения более удобное определение, которое сейчас считается эталонным. Он сделал замену x=e−tx = e^{-t} и ввёл обозначение Γ(z)\Gamma(z).

Гамма-функция

Γ(z)   ⁣=def   ⁣∫0∞tz−1 e−t dtдля z∈C и Re⁡z>0\Gamma(z) \defeq \int\limits_0^\oo t^{z-1} \, e^{-t} \, dt \quad\text{для}~ z \in \CC ~\text{и}~ \Re z > 0

Интегрируя по частям определение гамма-функции, получаем равенство

Γ(z+1)=z⋅Γ(z)\Gamma(z+1) = z \cdot \Gamma(z)

Это равенство является функциональным уравнением, на основании которого и построена аналогия гамма-функции с факториалом. Для целых zz оно как раз превращается в рекуррентную формулу для факториала.

Формула Вейерштрасса

Γ(z)=e−γzz⋅∏k=1∞ez/k1+z/kдля z   ⁣∈   ⁣C∖{0,−1,−2,… }\Gamma(z) = \frac{e^{- \gamma z}}{z} \cdot \prod\limits_{k=1}^\oo \frac{e^{z/k}}{1 + z/k} \quad\text{для}~ z \;\! \in \;\! \CC \without \{ 0, -1, -2, \dotsc \}

Рассмотрим оригинальное определение Эйлера

Γ(z)   ⁣=def   ⁣z!z=lim⁡m→∞mz m!zm+1‾\Gamma(z) \defeq \frac{z!}{z} = \lim\limits_{m \to \oo} \frac{m^z \, m!}{z^{\overline{m+1}}}

Перевернём дробь

1Γ(z)=lim⁡m→∞zm+1‾mz m!=lim⁡m→∞z⋅∏k=1m(z+k)mz⋅∏k=1mk=z⋅lim⁡n→∞1mz⋅∏k=1m(1+zk)\frac{1}{\Gamma(z)} = \lim\limits_{m \to \oo} \frac{z^{\overline{m+1}}}{m^z \, m!} = \lim\limits_{m \to \oo} \frac{z \cdot \prod\limits_{k=1}^m (z+k)}{m^z \cdot \prod\limits_{k=1}^m k} = z \cdot \lim\limits_{n \to \oo} \frac{1}{m^z} \cdot \prod\limits_{k=1}^m \left( 1 + \frac{z}{k} \right)

Умножим и разделим на exp⁡(z⋅∑k=1m1/k)\exp \Bigl( z \cdot \sum\limits_{k=1}^m 1/k \Bigr)

1Γ(z)=z⋅lim⁡n→∞(1mz⋅exp⁡(z⋅∑k=1m1/k)⋅∏k=1m((1+zk)⋅e−z/k))\frac{1}{\Gamma(z)} = z \cdot \lim\limits_{n \to \oo} \Biggl( \frac{1}{m^z} \cdot \exp \biggr( z \cdot \sum\limits_{k=1}^m 1/k \biggr) \cdot \prod\limits_{k=1}^m \biggl( \left( 1 + \frac{z}{k} \right) \cdot e^{-z/k} \biggr) \Biggr)

Множитель exp⁡(z⋅∑k=1m1/k)/mz=exp⁡(z⋅∑k=1m(1/k−ln⁡m))\exp \Bigl( z \cdot \sum\limits_{k=1}^m 1/k \Bigr) \Bigm/ m^z = \exp \Bigl( z \cdot \sum\limits_{k=1}^m (1/k - \ln m) \Bigr) при стремлении m→∞m \to \oo превращается в eγze^{\gamma z}. Тогда

1Γ(z)=z⋅eγz⋅∏k=1∞((1+zk)⋅e−z/k)\frac{1}{\Gamma(z)} = z \cdot e^{\gamma z} \cdot \prod\limits_{k=1}^\oo \biggl( \left( 1 + \frac{z}{k} \right) \cdot e^{-z/k} \biggr)

Отсюда получаем формулу Вейерштрасса

Γ(z)=e−γzz⋅∏k=1∞ez/k1+z/k\Gamma(z) = \frac{e^{- \gamma z}}{z} \cdot \prod\limits_{k=1}^\oo \frac{e^{z/k}}{1 + z/k}

Для гамма-функции справедлива формула дополнения Эйлера, которое просто выводится, если использовать формулу Вейерштрасса и представление синуса через произведение.

Γ(z)⋅Γ(1−z)=πsin⁡πz\Gamma(z) \cdot \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}

Также иногда полезным бывает формула умножения Гаусса

Γ(z)⋅Γ(z+12)⋯Γ(z+n−1n)=∏k=0n−1Γ(z+kn)=n1/2−nz⋅(2π)(n−1)/2⋅Γ(nx)\Gamma(z) \cdot \Gamma \left( z + \frac{1}{2} \right) \dotsm \Gamma \left( z + \frac{n-1}{n} \right) = \prod\limits_{k=0}^{n-1} \Gamma \left( z + \frac{k}{n} \right) = n^{1/2 - nz} \cdot (2 \pi)^{(n-1) / 2} \cdot \Gamma(nx)

Прологарифмируем произведение

ln⁡∏k=0n−1Γ(z+kn)=∑k=0n−1ln⁡Γ(z+kn)\ln \prod\limits_{k=0}^{n-1} \Gamma \left( z + \frac{k}{n} \right) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \ln \Gamma \left( z + \frac{k}{n} \right)

Используем прологарифмированную формулу Вейерштрасса

−ln⁡Γ(z)=ln⁡z+γz+∑m=1∞(ln⁡(1+zm)−zm)- \ln \Gamma (z) = \ln z + \gamma z + \sum\limits_{m=1}^\oo \biggl( \ln \left( 1 + \frac{z}{m} \right) - \frac{z}{m} \biggr)

Подставляем в сумму и получаем

∑k=0n−1ln⁡Γ(z+kn)=−∑k=0n−1(ln⁡(z+kn)+γ⋅(z+kn)+∑m=1∞(ln⁡(1+zm)−zm))\sum\limits_{k=0}^{n-1} \ln \Gamma \left( z + \frac{k}{n} \right) = - \sum\limits_{k=0}^{n-1} \Biggl( \ln \left( z + \frac{k}{n} \right) + \gamma \cdot \left( z + \frac{k}{n} \right) + \sum\limits_{m=1}^\oo \biggl( \ln \left( 1 + \frac{z}{m} \right) - \frac{z}{m} \biggr) \Biggr)

Использовав формулу Стирлинга, можно получить асимптотическую формулу для гамма-функции

Γ(z)=2πz(ze)z⋅exp⁡(∑k=1mB2k2k (2k−1) z2k−1+O(1∣z∣2m+1))при ∣z∣→∞ и ∣arg⁡z∣≠π\Gamma(z) = \sqrt{\frac{2 \pi}{z}} \left( \frac{z}{e} \right)^z \cdot \exp \left( \sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2k \, (2k-1) \, z^{2k-1}} + O \left( \frac{1}{|z|^{2m+1}} \right) \right) \quad\text{при}~ |z| \to \oo ~\text{и}~ |\arg z| \neq \pi

Гамма-функция Γ(z)\Gamma (z) по стандартному интегральному определению Эйлера – Лежандра сходится при Re⁡z>0\Re z > 0. Существует аналитическое продолжение гамма-функции на всю комплексную плоскость, кроме целых чисел. Это аналитическое продолжение называется интегралом Римана – Ганкеля:

Γ(z)=1e2πi z−1∮Ltz−1 e−t dtдля z∈C∖Z\Gamma (z) = \frac{1}{e^{2 \pi i \, z} - 1} \oint\limits_L t^{z-1} \, e^{-t} \, dt \quad\text{для}~ z \in \CC \without \ZZ

Здесь LL — любой контур, огибающий точку t=0t=0 против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Гамма-функция имеет полюса первого порядка во всех неположительных целых точках. Вычеты в этих точках равны

res⁡z   ⁣=   ⁣−nΓ(z)=(−1)nn!при n∈N0\res_{z \;\! = \;\! -n} \Gamma(z) = \frac{(-1)^n}{n!} \quad\text{при}~ n \in \NN_0

Можно рассмотреть функцию 1/Γ(z)1/\Gamma(z), у которой нет полюсов. Тогда получится более приятный интеграл Ганкеля

1Γ(z)=12πi∮Lt−z et dtдля z∈C\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{1}{2 \pi i} \oint\limits_L t^{-z} \, e^t \, dt \quad\text{для}~ z \in \CC

Бета функция

После введения гамма-функции возникает естественный вопрос: как обобщить биномиальные коэффициенты?

Для натуральных чисел биномиальный коэффициент определяется как

(nk)   ⁣=def   ⁣n!k! (n−k)!\binom{n}{k} \defeq \frac{n!}{k! \, (n-k)!}

Если заменить факториалы на гамма-функции, получим обобщение биномиальных коэффициентов

(xy)=Γ(x+1)Γ(y+1) Γ(x−y+1)\binom{x}{y} = \frac{\Gamma(x + 1)}{\Gamma(y + 1) \, \Gamma(x - y + 1)}

Как связать эти три гамма-функции?

Посмотрим на произведение Γ(x)⋅Γ(y)\Gamma(x) \cdot \Gamma(y). Запишем гамма-функции как интегралы и вычислим

Γ(x)⋅Γ(y)=∫0∞∫0∞ux−1 vy−1 e−u−v du dv\Gamma(x) \cdot \Gamma(y) = \int\limits_0^\oo \int\limits_0^\oo u^{x-1} \, v^{y-1} \, e^{-u-v} \, du \, dv

Заменим две переменные uu и vv на две другие переменные zz и tt, при этом zz будет отвечать за сумму, а tt за долю:

u=ztиv=z (1−t)u = zt \quad\text{и}\quad v = z \, (1-t)

Якобиан такого преобразования равен

J=∣∂u/∂z∂u/∂t∂v/∂z∂v/∂t∣=∣tz1−t−z∣=−zJ = \vmatrix{\partial u / \partial z & \partial u / \partial t \\ \partial v / \partial z & \partial v / \partial t} = \vmatrix{t & z \\ 1-t & -z} = -z

Тогда наш двойной интеграл превращается в

Γ(x)⋅Γ(y)=∫0∞∫0∞ux−1 vy−1 e−u−v du dv=∫0∞∫01zx−1 tx−1⋅zy−1 (1−t)y−1⋅e−z⋅∣J∣ dz dt=∫0∞zx+y−1 e−z dz⋅∫01tx−1 (1−t)y−1 dt=Γ(x+y)⋅∫01tx−1 (1−t)y−1 dt\align{ \Gamma(x) \cdot \Gamma(y) &= \int\limits_0^\oo \int\limits_0^\oo u^{x-1} \, v^{y-1} \, e^{-u-v} \, du \, dv = \int\limits_0^\oo \int\limits_0^1 z^{x-1} \, t^{x-1} \cdot z^{y-1} \, (1-t)^{y-1} \cdot e^{-z} \cdot |J| \, dz \, dt \\ &= \int\limits_0^\oo z^{x+y-1} \, e^{-z} \, dz \cdot \int\limits_0^1 t^{x-1} \, (1-t)^{y-1} \, dt = \Gamma(x + y) \cdot \int\limits_0^1 t^{x-1} \, (1-t)^{y-1} \, dt }

И вот этот вот интеграл, который у нас в итоге получился, называется бета функцией.

Бета функция

B(x,y)=∫01tx−1 (1−t)y−1 dtдля x,y∈C и Re⁡x>0 и Re⁡y>0\Beta(x, y) = \int\limits_0^1 t^{x-1} \, (1-t)^{y-1} \, dt \quad\text{для}~ x,y \in \CC ~\text{и}~ \Re x > 0 ~\text{и}~ \Re y > 0

Основное свойство, которое мы только что вывели

B(x,y)=Γ(x)⋅Γ(y)Γ(x+y)\Beta(x, y) = \frac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}

Получается, что бета функция действительно является обобщением биномиальных коэффициентов, и, так же как и гамма-функция, с немного измененными параметрами

(xy)=1(x+1) B(x−y+1,y+1)\binom{x}{y} = \frac{1}{(x+1) \, \Beta(x-y+1, y+1)}

Из основного свойства также следует банальное свойство симметричности:

B(x,y)=B(y,x)\Beta(x, y) = \Beta(y, x)

Подстановкой t=u/(1+u)t = u / (1+u) в формулу-определение бета-функции можно получить эквивалентное интегральное представление

B(x,y)=∫0∞ux−1(1+u)x+y du\Beta(x, y) = \int\limits_0^\oo \frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}} \, du

Формула кажется несимметричной, но это не так. Сделав замену u↦1/uu \mapsto 1/u мы получим другую букву в степени числителя.

Другой подстановкой t=sin⁡2θt = \sin^2 \theta в формулу-определение бета-функции можно получить эквивалентное интегральное представление с тригонометрическими функциями

B(x,y)=2∫0π/2sin⁡2x−1θ cos⁡2y−1θ dθ\Beta(x, y) = 2 \int\limits_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \, \cos^{2y-1} \theta \, d \theta

Здесь явно видна симметрия и при целых xx и yy возникают известные всем формулы Валлиса.

Дигамма-функция

Мы ввели гамма-функцию как обобщение факториала. Это мощный инструмент, но во многих реальных задачах нас интересует не сама гамма-функция, а её поведение. Как быстро она растёт? Как малые изменения аргумента влияют на её значение?

В классическом анализе для изучения поведения функции мы берём её производную. Давайте продифференцируем гамма-функцию. Но работать с самой производной Γ′(z)\Gamma'(z) неудобно из-за быстрого роста функции. Гораздо информативнее и стабильнее выглядит её логарифмическая производная.

Вспомним: логарифмическая производная функции f(z)f(z) это (ln⁡f(z))′=f′(z)/f(z)(\ln f(z))' = f'(z)/f(z). Она измеряет относительную скорость изменения функции, что часто гораздо полезнее абсолютной.

Именно эту роль родной производной для гамма-функции и играет дигамма-функция.

Дигамма-функция

ψ(z)   ⁣=def   ⁣ddzln⁡Γ(z)=Γ′(z)Γ(z)\psi(z) \defeq \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

Давайте выведем её ключевое свойство, взяв за основу функциональное уравнение гамма-функции: Γ(z+1)=z Γ(z)\Gamma(z+1) = z \, \Gamma(z). Прологарифмируем его: ln⁡Γ(z+1)=ln⁡z+ln⁡Γ(z)\ln \Gamma(z+1) = \ln z + \ln \Gamma(z).

А теперь продифференцируем обе части по zz:

ψ(z+1)=1z+ψ(z)\psi(z+1) = \frac{1}{z} + \psi(z)

Посмотрите на эту формулу. Для целых положительных z=nz = n мы можем развернуть эту рекуррентность:

ψ(n+1)=1n+ψ(n)=1n+1n−1+⋯+11+ψ(1)=Hn+ψ(1)\psi(n+1) = \frac{1}{n} + \psi(n) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} + \dots + \frac{1}{1} + \psi(1) = H_n + \psi(1)

Мы получили прямую связь с гармоническими числами. Оказывается, дигамма-функция — это аналитическое продолжение гармонических чисел на всю комплексную плоскость.

Чтобы получить явное представление для ψ(z)\psi(z), вернёмся к формуле Вейерштрасса для гамма-функции, которая раскладывает её на простейшие множители.

Γ(z)=e−γzz∏n=1∞ez/n1+z/n\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod\limits_{n=1}^\oo \frac{e^{z/n}}{1 + z/n}

Это произведение сходится при всех zz, кроме неположительных целых. Его главное преимущество — оно превращает сложный анализ в простую работу с рядами.

Давайте его прологарифмируем:

ln⁡Γ(z)=−γz−ln⁡z+∑n=1∞(zn−ln⁡(1+zn))\ln \Gamma(z) = -\gamma z - \ln z + \sum\limits_{n=1}^\oo \biggl( \frac{z}{n} - \ln \left( 1 + \frac{z}{n} \right) \biggr)

Теперь, чтобы найти ψ(z)\psi(z), продифференцируем этот ряд почленно.

ψ(z)=ddzln⁡Γ(z)=−γ−1z+∑n=1∞(1n−1n+z)=−γ+∑n=0∞(1n+1−1n+z)\psi(z) = \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) = -\gamma - \frac{1}{z} + \sum\limits_{n=1}^\oo \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+z} \right) = -\gamma + \sum\limits_{n=0}^\oo \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+z} \right)

Мы получили одно из самых полезных представлений дигамма-функции в виде ряда.

Интегральные представления дигамма-функции

Ряды, безусловно, очень полезные и часто встречаются в анализе алгоритмов, но часто более мощными инструментами являются интегральные представления. Они особенно полезны для получения асимптотик и работы с преобразованиями. Давайте получим некоторые интегральные представления для дигамма-функций.

Возьмём интегральное представления для гармонических чисел Hx=∫01(1−tx)/(1−t) dtH_x = \int\limits_0^1 (1-t^x)/(1-t) \, dt, которое само является неплохим обобщением гармонических чисел на нецелые аргументы. Подставим этот интеграл в выведенную формулу для ψ(z)\psi(z):

ψ(z+1)=Hz+ψ(1)=−γ+∫011−tz1−t dtдля z∈C и Re⁡z>−1\psi(z+1) = H_z + \psi(1) = -\gamma + \int\limits_0^1 \frac{1-t^z}{1-t} \, dt \quad\text{для}~ z \in \CC ~\text{и}~ \Re z > -1

Этот интеграл не очень удобен из-за особенности в точке −1-1. Стандартная замена t=e−ut = e^{-u} позволяет записать этот интеграл более приятно. Для большей красоты можно сделать сдвиг, и считать не ψ(z+1)\psi(z+1), а ψ(z)\psi(z):

ψ(z)=−γ+∫0∞e−u+e−zu1−e−u duдля z∈C и Re⁡z>0\psi(z) = -\gamma + \int\limits_0^\oo \frac{e^{-u} + e^{-zu}}{1-e^{-u}} \, du \quad\text{для}~ z \in \CC ~\text{и}~ \Re z > 0

Другое, не менее полезное интегральное представление, которое получил Петер Дирихле. Хотя именно это представление непосредственно выводилось из результатов Леонарда Эйлера.

Продифференцируем основное представление гамма-функции Γ(z)=∫0∞tz−1 e−t dt\Gamma(z) = \int\limits_0^\oo t^{z-1} \, e^{-t} \, dt по zz:

ψ(z)=Γ′(z)Γ(z)=1Γ(z) ∫0∞tz−1 e−t ln⁡t dt\psi(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} = \frac{1}{\Gamma(z)} \, \int\limits_0^\oo t^{z-1} \, e^{-t} \, \ln t \, dt

Использовав представление логарифма ln⁡t=∫0∞(e−u−e−tu)/u du\ln t = \int\limits_0^\oo (e^{-u} - e^{-tu}) / u \, du, получаем

ψ(z)=1Γ(z) ∫0∞tz−1 e−t ∫0∞e−u−e−tuu du dt\psi(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \, \int\limits_0^\oo t^{z-1} \, e^{-t} \, \int\limits_0^\oo \frac{e^{-u} - e^{-tu}}{u} \, du \, dt

Раскрыв скобки и поменяв порядок интегрирования, получаем

ψ(z)=1Γ(z) ∫0∞1u⋅(e−u⋅Γ(z)−Γ(z)(1+u)z) du\psi(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \, \int\limits_0^\oo \frac{1}{u} \cdot \left( e^{-u} \cdot \Gamma(z) - \frac{\Gamma(z)}{(1+u)^{z}} \right) \, du

И вот мы получили интегральное представление Дирихле

ψ(z)=∫0∞1u⋅(e−u−1(1+u)z) duдля z∈C и Re⁡z>0\psi(z) = \int\limits_0^\oo \frac{1}{u} \cdot \left( e^{-u} - \frac{1}{(1+u)^{z}} \right) \, du \quad\text{для}~ z \in \CC ~\text{и}~ \Re z > 0

Следующее интегральное представление, которое мы сейчас рассмотрим, принадлежит Карлу Гауссу. Это представление тесно связано с формулой Стирлинга и асимптотическими разложениями.

Посмотрим на формулу Стирлинга с остаточным членом в интегральной форме, которую можно получить, применив формулу суммирования Эйлера. Мы уже рассматривали метод получания такого разложения, так что я просто запишу результат.

ln⁡Γ(z)=(z−12)⋅ln⁡z−z+12ln⁡(2π)+∫0∞⌊t⌋−t+1/2t+z dt\ln \Gamma(z) = \left( z - \frac{1}{2} \right) \cdot \ln z - z + \frac{1}{2} \ln (2\pi) + \int\limits_0^\oo \frac{\lfloor t \rfloor - t + 1/2}{t+z} \, dt

Дифференцируя это выражение по zz, мы получаем

ψ(z)=ln⁡z−12z+∫0∞⌊t⌋−t+1/2(t+z)2 dt\psi(z) = \ln z - \frac{1}{2z} + \int\limits_0^\oo \frac{\lfloor t \rfloor - t + 1/2}{(t+z)^2} \, dt

Используя интегральное представление для дроби 1/(t+z)2=∫0∞u e−(t+z) u du1/(t+z)^2 = \int\limits_0^\oo u \, e^{-(t+z) \, u} \, du, запишем двойной интеграл

ψ(z)=ln⁡z−12z+∫0∞(⌊t⌋−t+12)⋅∫0∞u e−(t+z) u du dt=ln⁡z−12z+∫0∞u e−zu∫0∞(⌊t⌋−t+12)⋅e−tu dt du\psi(z) = \ln z - \frac{1}{2z} + \int\limits_0^\oo \left( \lfloor t \rfloor - t + \frac{1}{2} \right) \cdot \int\limits_0^\oo u \, e^{-(t+z) \, u} \, du \, dt = \ln z - \frac{1}{2z} + \int\limits_0^\oo u \, e^{-z u} \int\limits_0^\oo \left( \lfloor t \rfloor - t + \frac{1}{2} \right) \cdot e^{-t u} \, dt \, du

Во внутреннем интеграле проблемы могут возникнуть только с интегралом ∫0∞⌊t⌋ e−tu dt\int\limits_0^\oo \lfloor t \rfloor \, e^{-tu} \, dt, поэтому его разберём отдельно.

∫0∞⌊t⌋ e−tu dt=∑n=0∞n ∫nn+1e−tu dt=∑n=0∞n⋅e−nu−e−(n+1) uu=1−e−uu∑n=0∞n e−nu=e−uu (1−e−u)\int\limits_0^\oo \lfloor t \rfloor \, e^{-tu} \, dt = \sum\limits_{n=0}^\oo n \, \int\limits_n^{n+1} e^{-tu} \, dt = \sum\limits_{n=0}^\oo n \cdot \frac{e^{-nu}-e^{-(n+1) \, u}}{u} = \frac{1-e^{-u}}{u} \sum\limits_{n=0}^\oo n \, e^{-nu} = \frac{e^{-u}}{u \, (1-e^{-u})}

Подставляем это в выражение для ψ(z)\psi(z) и считаем другие внутренние интегралы

ψ(z)=ln⁡z−12z+∫0∞u e−zu(e−uu (1−e−u)−1u2+12u) du=ln⁡z−12z+∫0∞e−zu (1eu−1−1u+12)\psi(z) = \ln z - \frac{1}{2z} + \int\limits_0^\oo u \, e^{-z u} \left( \frac{e^{-u}}{u \, (1-e^{-u})} - \frac{1}{u^2} + \frac{1}{2u} \right) \, du = \ln z - \frac{1}{2z} + \int\limits_0^\oo e^{-zu} \, \left( \frac{1}{e^u-1} - \frac{1}{u} + \frac{1}{2} \right)

И мы получили интегральное представление Гаусса

ψ(z)=ln⁡z−12z+∫0∞e−zu (1eu−1−1u+12)для z∈C и Re⁡z>0\psi(z) = \ln z - \frac{1}{2z} + \int\limits_0^\oo e^{-zu} \, \left( \frac{1}{e^u-1} - \frac{1}{u} + \frac{1}{2} \right) \quad\text{для}~ z \in \CC ~\text{и}~ \Re z > 0

Из этого разложения можно получить разложение ψ(z)\psi(z) в ряд, которое можно использовать для точных асимптотических оценок.

Подынтегральная функция 1/(et−1)−1/t+1/21/(e^t-1) - 1/t + 1/2 гладкая, а значит её можно разложить в ряд Тейлора

1et−1−1t+12=∑n=1∞B2n(2n)!⋅t2n−1\frac{1}{e^t - 1} - \frac{1}{t} + \frac{1}{2} = \sum\limits_{n=1}^\oo \frac{B_{2n}}{(2n)!} \cdot t^{2n-1}

Подставляем это выражение в только что выведенное интегральное представление Гаусса, интегрируем почленно и получаем очень хороший ряд

ψ(z)=ln⁡z−12z−∑n=1∞B2n2n z2n\psi(z) = \ln z - \frac{1}{2z} - \sum\limits_{n=1}^\oo \frac{B_{2n}}{2n \, z^{2n}}

Полигамма-функции

Если мы продифференцируем дигамма-функцию, мы получим следующую важную функцию.

Полигамма-функции

ψ(m)(z)   ⁣=def   ⁣dmdzmψ(z)=dm+1dzm+1ln⁡Γ(z),m=0,1,2,…\psi^{(m)}(z) \defeq \frac{d^m}{dz^m} \psi(z) = \frac{d^{m+1}}{dz^{m+1}} \ln \Gamma(z), \quad m = 0, 1, 2, \dotsc

Функции ψ(m)(z)\psi^{(m)}(z) называются полигамма-функциями порядка mm.

Например, тригамма-функция является обобщением уже не гармонических чисел, а суммы квадратов обратных величин. Продифференцируем наш ряд для ψ(z)\psi(z):

ψ′(z)=∑n=0∞1(n+z)2\psi'(z) = \sum\limits_{n=0}^\oo \frac{1}{(n+z)^2}

Для целого z=mz = m это даёт известный результат: ψ′(m)=∑k=m∞1k2=ζ(2)−∑k=1m−11k2=π2/6+Hm−1(2)\psi'(m) = \sum\limits_{k=m}^\oo \frac{1}{k^2} = \zeta(2) - \sum\limits_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k^2} = \pi^2/6 + H^{(2)}_{m-1}

Полигамма-функции высших порядков дают аналогичные представления:

ψ(m)(z)=(−1)m+1 m! ∑n=0∞1(n+z)m+1\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1} \, m! \, \sum\limits_{n=0}^\oo \frac{1}{(n+z)^{m+1}}

Упражнения

    1

    Вычислите

    ∫0∞e−axb dx\int\limits_0^\oo e^{-a x^b} \, dx

    Ответ

    ` Сделаем замену t=axbt = ax^b. Тогда x=(t/a)1/bx = (t/a)^{1/b} и dx=1/b⋅a−1/b t1/b−1 dtdx = 1/b \cdot a^{-1/b} \, t^{1/b-1} \, dt.

    ∫0∞e−axb dx=∫0∞e−t⋅a−1/bb⋅t1/b−1 dt=a−1/bb∫0∞t1/b−1 e−t dt=a−1/bb⋅Γ(1b)\int\limits_0^\oo e^{-a x^b} \, dx = \int\limits_0^\oo e^{-t} \cdot \frac{a^{-1/b}}{b} \cdot t^{1/b-1} \, dt = \frac{a^{-1/b}}{b} \int\limits_0^\oo t^{1/b-1} \, e^{-t} \, dt = \frac{a^{-1/b}}{b} \cdot \Gamma \left( \frac{1}{b} \right)

    Вычислите обобщённый интеграл Фруллани для экспонент

    ∫0∞e−ax−e−bxxp dxпри 0<p<1 и a,b>0\int\limits_0^\oo \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x^p} \, dx \quad\text{при}~ 0 < p < 1 ~\text{и}~ a, b > 0

    Ответ

    Представим разность экспонент как интеграл

    e−ax−e−bx=−∫abx e−λx dλe^{-ax} - e^{-bx} = - \int\limits_a^b x \, e^{- \lambda x} \, d \lambda

    Подставив в исходный интеграл, получим

    ∫0∞e−ax−e−bxxp dx=∫0∞(−∫abx e−λx dλ)⋅dxxp=−∫ab(∫0∞x1−p e−λx dx) dλ=−∫abΓ(2−p)λ2−p dλ==−Γ(2−p)∫abλp−2 dλ=−Γ(2−p)⋅bp−1−ap−1p−1=Γ(1−p)⋅(bp−1−ap−1)\align{ \int\limits_0^\oo \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x^p} \, dx &= \int\limits_0^\oo \left( - \int\limits_a^b x \, e^{- \lambda x} \, d \lambda \right) \cdot \frac{dx}{x^p} = - \int\limits_a^b \left( \int\limits_0^\oo x^{1-p} \, e^{-\lambda x} \, dx \right) \, d \lambda = - \int\limits_a^b \frac{\Gamma(2-p)}{\lambda^{2-p}} \, d \lambda = \\ &= - \Gamma(2-p) \int\limits_a^b \lambda^{p-2} \, d \lambda = - \Gamma(2-p) \cdot \frac{b^{p-1} - a^{p-1}}{p-1} = \Gamma(1-p) \cdot ( b^{p-1} - a^{p-1} ) }

    Вычислите интеграл с рациональной экспонентой

    ∫0∞xp−1(1+xq)r dxпри q>0 и r>p/q>0\int\limits_0^\oo \frac{x^{p-1}}{(1+x^q)^r} \, dx \quad\text{при}~ q > 0 ~\text{и}~ r > p/q > 0

    Ответ

    Сделаем замену t=xq/(1+xq)t = x^q / (1 + x^q). Тогда x=(t/(1−t))1/qx = \bigl( t/(1-t) \bigr)^{1/q} и dx=1/q⋅t1/q−1 (1−t)−1/q−1 dtdx = 1/q \cdot t^{1/q-1} \, (1-t)^{-1/q-1} \, dt.

    ∫0∞xp−1(1+xq)r=1q∫01tp/q−1 (1−t)r−p/q−1 dt=1q⋅B(pq, r−pq)\int\limits_0^\oo \frac{x^{p-1}}{(1+x^q)^r} = \frac{1}{q} \int\limits_0^1 t^{p/q-1} \, (1-t)^{r-p/q-1} \, dt = \frac{1}{q} \cdot \Beta \left( \frac{p}{q} ,~ r - \frac{p}{q} \right)