Математическая и программистическая нотация

$\NN$	Множество натуральных чисел
$\NN_0$	Множество натуральных чисел с нулём
$\QQ$	Множество рациональных чисел
$\RR$	Множество действительных чисел

Тригонометрические, гиперболические и прочие функции

$\sin x$ , $\cos x$ , $\tg x$ , $\ctg x$ , $\sec x$ , $\csc x$	Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс
$\arcsin x$ , $\arccos x$ , $\arctg x$ , $\arcctg x$	Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс и арккосеканс
$\sh x$ , $\ch x$ , $\th x$ , $\cth x$	Гиперболические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс
$\sn x$ , $\cn x$ , $\am x$ , $\dn x$	Эллиптические функции Якоби: эллиптический синус, эллиптический косинус, амплитуда и дельта-амплитуда. Также допустимы всевозможные комбинации букв $\s, \c, \d, \n$ : $\sn x$ , $\ss x$ , $\sc x$ , $\sd x$ , $\cn x$ , $\cs x$ , $\cc x$ , $\cd x$ , $\dn x$ , $\ds x$ , $\dc x$ , $\dd x$ , $\nn x$ , $\ns x$ , $\nc x$ , $\nd x$ .
$\Gamma (z)$	Гамма-функция, обобщение факториала
$\Beta (z)$	Бета-функция, обобщение биномиального коэффициента
$\zeta (s)$	Дзета-функция Римана
$\zeta (s, a)$	Дзета-функция Гурвица
$\Li_s (z)$	Полилогарифм
$\Ei (z)$	Интегральная экспонента
$\Li (z)$ и $\li z$	Интегральный логарифм (обычный и сдвинутый)
$\Si (z)$ , $\Ci (z)$	Интегральные тригонометрические синус и косинус. Обозначения для гиперболических синусов и косинусов нет, они выражаются через $\Ei$ .
$\erf (x)$ , $\erfc (x)$	Функция ошибок обычная и дополненная
$\vrho (z)$	Эллиптическая функция Вейерштрасса
$\vtheta (z, \tau)$	Тета-функция Якоби и её $4$ стандартные формы $\vtheta_{00}(z, \tau) = \vtheta(z, \tau)$ , $\vtheta_{01}(z, \tau) = \vtheta(z + 1/2, \tau)$ , $\vtheta_{10}(z, \tau) = \exp(\pi i \tau / 4 + \pi i z) \cdot \vtheta(z + \tau/2, \tau)$ , $\vtheta_{11}(z, \tau) = \exp\bigl(\pi i \tau / 4 + \pi i (z + 1/2) \bigr) \cdot \vtheta(z + \tau/2 + 1/2, \tau)$

Теория множеств

$\{ a, b, c, d, \dotsc \}$	Множество с элементами $a, b, c, d, \dotsc$
$\nothing$	Пустое множество
$x \in X$ и $X \ni x$	Множество $X$ содержит элемент $x$
$x \notin X$ и $X \notni x$	Множество $X$ не содержит элемент $x$
$A \subset B$ и $B \supset A$	Множество $A$ является подмножеством множества $B$
$A \subseteq B$ и $B \supseteq A$	Множество $A$ является подмножеством множества $B$ , при этом $A$ может полностью совпадать с $B$
$A \subsetneq B$ и $B \supsetneq A$	Множество $A$ является собственным подмножеством множества $B$
$\bigl\{ f(x) \mid \forall\, x \in X \bigr\}$	Множество, состоящее из образов всех элементов множества $X$ под действием отображения $f$ . То есть мы к каждому элементу множества $X$ применили отображение $f$ и полученные результаты запихали в новое множество.
$\bigl\{ x \in X : P(x) \bigr\}$	Множество, состоящее только из тех элементов множества $X$ , для которых выполняется соотношение $P(x)$ .
$A \sect B$	Пересечение множеств $A$ и $B$
$A \union B$	Объединение множеств $A$ и $B$
$A \without B$	Разность множеств $A$ и $B$
$A^\complement$	Дополнение множества $A$
$A \symdiff B$	Симметричная множеств $A$ и $B$
$\|A\|$ и $\bigl\| \{ x_1, x_2, \dotsc \} \bigr\|$	Мощность множества $A$ и мощность множества $\{ x_1, x_2, \dotsc \}$
$2^X$	Булеан множества $X$ , то есть множество всех подмножеств множества $X$ .
$A \times B$	Декартово произведение множеств $A$ и $B$ , то есть множество, состоящее из всех возможных пар элементов из $A$ и из $B$ .
$X^n$	Декартова степень множества $X$
$\closure X$	Замыкание множества $X$ (при определённой топологии)
$\interior X$	Внутренность множества $X$ (при определённой топологии)
$\boundary X$	Граница множества $X$ (при определённой топологии)
$\diam X$	Диаметр множества $X$ (при определённой метрике)
$\mes X$	Мера множества $X$ (при определённой мере)
$\vol X$	Объем множества $X$ , специальный случай $\mes X$ для стандартной топологии в супермножестве $\RR^n$ .

Функции и отображения

$f \colon X \to Y$ $x \mapsto y$	Короткая запись определения функции $f$ , которая отображает элементы из множества $X$ в элементы из множества $Y$ . Запись $x \mapsto y$ означает, что при этом отображении элемент $x \in X$ переходит в элемент $y \in Y$ .
$f(x)$	Образ элемента $x$ при отображении $f$ . Эквивалентно программистической фразе «вызов функции $f$ с аргументом $x$ ». Аргументов может быть много, тогда они записываются через запятую: $f(a, b, c)$ . Когда аргументов слишком много, приходится использовать троеточие: например, запись $f(x_1, x_2, \dotsc, x_n$ означает вызов функции $f$ с $n$ аргументами $x_1, x_2, \dotsc, x_n$ .
$f[A]$	Образ множества $A$ при отображении $f$ . Эквивалентно $\{ f(a) \mid \forall\, a \in A \}$
$\dom f$	Область определения функции $f$ . Если $f \colon X \to Y$ , то $\dom f = X$ .
$\codom f$	Область назначения функции $f$ . Если $f \colon X \to Y$ , то $\codom f = Y$ .
$\im f$	Область значений (образ) функции $f$ .
$f \colon X \injto Y$	Инъективное отображение
$f \colon X \bijto Y$	Биективное отображение
$f \colon X \surjto Y$	Сюръективное отображение

Теория групп

$H \subgroup G$ и $G \supgroup H$	$H$ является подгруппой группы $G$
$H \subgroupc G$ и $G \supgroupc H$	$H$ является собственной подгруппой группы $G$
$H \nsubgroup G$ и $G \nsupgroup H$	$H$ является нормальной подгруппой группы $G$
$H \nsubgroupc G$ и $G \nsupgroupc H$	$H$ является собственной нормальной подгруппой группы $G$

Теория чисел

$d \divides n$	$d$ делит $n$
$\legendre{n}{p}$	символ Лежандра
$\/ x_1, x_2, \dotsc, x_n \/$	цепная дробь с числителями $1$
$\kcont_{n=1}^\oo \frac{b_n}{a_n ~ +}$	цепная дробь

Комбинаторика

$\binom{n}{k}$	биномиальный коэффициент из $n$ по $k$
$\qbinom{n}{k}{q}$	гауссов коэффициент из $n$ по $k$ при $q$ , он же $q$ -биномиальный коэффициент из $n$ по $k$
$\fbinom{n}{k}$	фибономиальный коэффициент из $n$ по $k$
$\legendre{n}{p}$	символ Лежандра и символ Якоби, в зависимости от простоты $p$
$\/ x_1, x_2, \dotsc, x_n \/$	цепная дробь