Неравенства Чебышёва

Неравенство Маркова

Пусть ξ\xi — неотрицательная случайная величина. Тогда для любого a>0a > 0

P⁡(ξ⩾a) ⩽ E⁡ξa\prob \big( \xi \ge a \big) \,\le\, \frac{\expect\xi}{a}

Доказательство.  Пусть A⊂ΩA \subset \Omega — какое-то событие. Его индикатором называется случайная величина

I(A)   ⁣=def   ⁣[событие A произошло]={1событие A произошло0событие A не произошло\I(A) \defeq [\text{событие}~ A ~\text{произошло}] = \begin{cases} 1 & \text{событие}~ A ~\text{произошло} \\ 0 & \text{событие}~A ~\text{не произошло} \end{cases}

Учитывая то, что I(A)+I(Ω∖A)=1\I(A) + \I(\Omega \without A) = 1, мы можем оценить снизу случайную величину ξ\xi

ξ = ξ⋅I(ξ<a)+ξ⋅I(ξ⩾a) ⩾ ξ⋅I(ξ⩾a) ⩾ a⋅I(ξ⩾a)\xi \,=\, \xi \cdot \I\big(\xi \lt a\big) + \xi \cdot \I\big(\xi \ge a\big) \,\ge\, \xi \cdot \I\big(\xi \ge a\big) \,\ge\, a \cdot \I\big(\xi \ge a\big)

Используем свойство индикаторов E(I(A))=P(A)\E \big( \I(A) \big) = \P(A). Посчитаем математическое ожидание

E⁡ξ ⩾ a⋅E(I(ξ⩾a))=a⋅P⁡(x⩾a)\expect\xi \,\ge\, a \cdot \E\big(\I (\xi \ge a)\big) = a \cdot \prob\big(x \ge a\big)

Неравенство Чебышёва

Пусть ξ\xi — неотрицательная случайная величина с дисперсией σ2\sigma^2. Тогда для любого a>0a > 0

P⁡(∣ξ−E⁡ξ∣⩾a) ⩽ σ2a2\prob \big( |\xi - \expect\xi| \ge a \big) \,\le\, \frac{\sigma^2}{a^2}

Доказательство.  При a>0a > 0 неравенство ∣ξ−E ξ∣>a|\xi - \E\,\xi| > a равносильно неравенству (ξ−E ξ)2>a2(\xi - \E\,\xi)^2 > a^2.

P⁡(∣ξ−E⁡ξ∣⩾a) = P⁡((ξ−E⁡ξ)2⩾a2) ⩽ E⁡((ξ−E⁡ξ)2)a2 = σ2a2\prob \big( |\xi - \expect\xi| \ge a \big) \,=\, \prob \big( (\xi - \expect\xi)^2 \ge a^2 \big) \,\le\, \frac{\expect \big( (\xi - \expect\xi)^2 \big)}{a^2} \,=\, \frac{\sigma^2}{a^2}