Сходимость

Типы сходимости

Пусть ξn\xi_n — последовательность случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве.

Для последовательностей случайных величин стандартное определение предела последовательности было бы слишком жестким. Если бы a=lim⁡ξna = \lim\limits \xi_n в стандартном определении предела последовательности, то для любого ε>0\varepsilon > 0 начиная с какого-то номера все элементы последовательности ξn\xi_n попадали бы в отрезок (a−ε,a+ε)(a - \varepsilon, a + \varepsilon).

Сходимость по вероятности

Давайте смотреть не факт того, что ∣ξn−a∣<ε| \xi_n - a | < \varepsilon, а на вероятность такого события.

Сходимость по вероятности

Говорят, что последовательность ξn\xi_n сходится по вероятности к случайной величине η\eta, и пишут ξn→Pa\xi_n \ptoo a, если для любого ε>0\varepsilon > 0

lim⁡n→∞P⁡(∣ξn−a∣<ε)=1илиlim⁡n→∞P⁡(∣ξn−a∣⩾ε)=0\lim\limits_{n \to \oo} \prob \bigl( |\xi_n - a| < \varepsilon \bigr) = 1 \quad\text{или}\quad \lim\limits_{n \to \oo} \prob \bigl( |\xi_n - a| \ge \varepsilon \bigr) = 0

Часто бывает трудно найти предельную случайную величину η\eta. Но тем не менее, факт сходимости последовательности случайных величин ξn\xi_n устанавливать надо. Здесь может пригодится критерий Коши, который аналогичен критерию Коши для обычных числовых последовательностей:

ξn→Pη  при n→∞  ⟺  ∀ ε>0lim⁡n,m→∞P⁡(∣ξn−ξm∣>ε)=0\xi_n \ptoo \eta ~~\text{при}~ n \to \oo \iff \forall\, \varepsilon > 0 \? \lim\limits_{n, m \to \oo} \prob \bigl( |\xi_n - \xi_m| > \varepsilon \bigr) = 0

Сходимость почти наверняка

Попробуем сформулировать более сильное условие сходимости.

Сходимость по почти наверняка

Говорят, что последовательность ξn\xi_n сходится почти наверняка к aa, и пишут ξn→a.s. a\xi_n \astoo a, если

P⁡(lim⁡n→∞ξn=a)=1\prob \left( \lim\limits_{n \to \oo} \xi_n = a \right) = 1
1

Есть последовательность случайных величин ξn∼Gamma⁡(n,n)\xi_n \sim \Gamm(n, n). Докажите, что ξn→P1\xi_n \ptoo 1 при n→∞n \to \oo.