Некоторые распределения

Непрерывные случайные величины

Равномерное распределение

Равномерное распределение на отрезке [a,b][a, b].

ξ∼uniform⁡ [a,b]\xi \sim \uniform~ [a, b]

Параметры — числа a,b∈Ra, b \in \RR, и a<ba < b. aa называют коэффициентом сдвига, а b−ab-a — коэффициентом масштаба.

Носитель — отрезок [a,b][a, b].

Плотность равномерного распределения — константа

f(x)={1b−a if a⩽x<b0 otherwise =1b−a⋅[a⩽x⩽b]f(x) = \cases{\dfrac{1}{b-a} & \if a \le x \lt b\\[0.8em]0 & \otherwise} = \frac{1}{b-a} \cdot [a \le x \le b]

Функция распределения

F(x)=∫−∞xf(x) dx={1 if x>bx−ab−a if a   ⁣⩽   ⁣x⩽b0 if x<a=x−ab−a⋅[a⩽x⩽b]+[x>b]F(x) = \int\limits_{-\oo}^x f(x) \, dx = \cases{1 & \if x > b\\[0.4em]\dfrac{x-a}{b-a} & \if a \;\! \le \;\! x \le b\\[0.8em]0 & \if x < a} = \frac{x-a}{b-a} \cdot [a \le x \le b] + [x > b]

Характеристическая функция

φ(t)=ei a t−ei b ti t (b−a)\varphi(t) = \frac{e^{i \, a \, t} - e^{i \, b \, t}}{i \, t \, (b-a)}

Основные характеристики величины ξ∼uniform⁡[a,b]\xi \sim \uniform[a, b]

E⁡ξ=a+b2var⁡ξ=(b−a)212\expect \xi = \frac{a+b}{2} \qquad \var \xi = \frac{(b-a)^2}{12}

Нормальное распределение

Нормальное распределение с математическим ожиданием μ\mu и дисперсией σ2\sigma^2.

ξ∼N⁡(μ,σ2)\xi \sim \Norm(\mu, \sigma^2)

Параметры — числа μ,σ∈R\mu, \sigma \in \RR. μ\mu характеризует математическое ожидание и σ2\sigma^2 характеризует дисперсию.

Носитель — все числа R\RR.

Плотность нормального распределения

f(x)=12π⋅σexp⁡(−(x−μ)22σ2)f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma} \exp \left( - \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right)

Функция распределения

F(x)=12π⋅σ∫−∞xexp⁡(−(t−μ)22σ2) dt=12+12⋅erf⁡(x−μ2⋅σ)F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma} \int\limits_{-\oo}^x \exp \left( - \frac{(t-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \, dt = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \erf \left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2} \cdot \sigma} \right)

Характеристическая функция

φ(t)=exp⁡(μit−σ2t22)\varphi(t) = \exp \left( \mu i t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)

Основные характеристики величины ξ∼N⁡(μ,σ2)\xi \sim \Norm(\mu, \sigma^2)

E⁡ξ=μmed⁡ξ=μmode⁡ξ=μvar⁡ξ=σ2skew⁡ξ=0kurt⁡ξ=0\expect \xi = \mu \quad \med \xi = \mu \quad \mode \xi = \mu \qquad \var \xi = \sigma^2 \quad \skew \xi = 0 \quad \kurt \xi = 0

Гамма-распределение

ξ∼Gamma⁡(k,θ)\xi \sim \Gamm(k, \theta)

Параметры — числа k,θ>0\k, \theta > 0. kk называется параметром формы и θ\theta называется масштабом.

Носитель — все положительные числа (0,+∞))(0, +\oo)).

Плотность

f(x)=1Γ(k)⋅θk⋅xk−1⋅e−x/θf(x) = \frac{1}{\Gamma(k) \cdot \theta^k} \cdot x^{k-1} \cdot e^{-x/\theta}

Функция распределения

F(x)=1Γ(k)⋅θk∫−∞xtk−1 e−t/θ dt=1Γ(k)⋅γ(k,xθ)F(x) = \frac{1}{\Gamma(k) \cdot \theta^k} \int\limits_{-\oo}^x t^{k-1} \, e^{-t/\theta} \, dt = \frac{1}{\Gamma(k)} \cdot \gamma \left( k, \frac{x}{\theta} \right)

Характеристическая функция

φ(t)=(1−θit)−k\varphi(t) = (1 - \theta i t)^{-k}

Основные характеристики величины ξ∼Gamma⁡(k,θ)\xi \sim \Gamm(k, \theta)

E⁡ξ=kθmed⁡ξ=...mode⁡ξ=(k−1) θ при k⩾1var⁡ξ=θ2skew⁡ξ=2kkurt⁡ξ=6k\expect \xi = k \theta \quad \med \xi = ... \quad \mode \xi = (k-1) \, \theta ~\text{при}~ k \ge 1 \qquad \var \xi = \theta^2 \quad \skew \xi = \frac{2}{\sqrt{k}} \quad \kurt \xi = \frac{6}{k}