Методы, которые мы применяем к биномиальным коэффициентам, оказываются весьма эффективными в тех случаях, когда они работают. Однако важно помнить, что их успешность часто носит специфический характер — эти методы, как правило, не универсальны и требуют тщательного подбора под конкретную задачу. Занимаясь решением разнообразных задач, мы иногда сталкиваемся с тем, что подходы, которые казались перспективными, неожиданно приводят к тупиковым путям. Биномиальные коэффициенты ведут себя подобно хамелеонам: их внешний вид легко меняется в зависимости от контекста, что делает их одновременно гибкими и сложными для систематизации. Поэтому естественным становится вопрос: существует ли некий унифицирующий объект, который обобщил бы всё многообразие методов суммирования? К счастью, такой объект действительно существует — им являются так называемые гипергеометрические ряды.

Начало изучению гипергеометрических рядов было положено в конце 18 – начале 19 века. Первые систематические исследования появились в работах Леонарда Эйлера в 1760-х годах, где он рассмотрел ряды с рекуррентным соотношением для коэффициентов. Окончательную форму гипергеометрической функции и глубокий анализ её свойств дал Карл Фридрих Гаусс в знаменитой работе 1812 года, посвящённой сходимости и функциональным соотношениям. Позже, в середине XIX века, Бернард Риман развил теорию с помощью комплексного анализа, введя геометрический взгляд на гипергеометрическое дифференциальное уравнение.

И до сих пор гипергеометрические ряды остаются предметом активных исследований — они находят применение в комбинаторике, теории чисел, математической физике и даже в современных вычислительных алгоритмах.

Огромное количество функций являются частными случаями гипергеометрических.

Например, если параметры вообще отсутствуют, мы получаем экспоненту:

Можно получить обычный геометрический ряд, сделав в числителе множитель $n! = 1^{\overline{n}}$:

А если поставить в числитель произвольный параметр $a$, можно получить

Заменив $a$ на $-a$ и $z$ на $-z$ можно получить биномиальный ряд

Целое отрицательное число, стоящее на месте верхнего параметра, делает из бесконечного ряда конечный, поскольку $(-a)^{\overline{k}} = 0$ при $k > a$ и $a \in \NN_0$.

Далее я просто приведу частные случаи гипергеометрических функций, чтобы вы убедились в универсальности инструмента:

здесь $J_\nu(x)$ — функция Бесселя первого рода, $I_\nu(x)$ — модифицированная функция Бесселя, $\gamma(a, x)$ — неполная гамма-функция, $\Si(x)$ — интегральный синус, $\K(k)$ и $\E(k)$ — эллиптические интегралы первого и второго рода.

Пока гипергеометрические ряды нам не дали ничего, кроме громких имён и красивых определений. Однако мы увидели, что множество весьма разных функций можно представить именно в виде гипергеометрических рядов. Это и станет основным объектом нашего внимания.

Какие ряды являются гипергеометрическими? На этот вопрос легко ответить, если рассмотреть отношение последовательных членов гипергеометрического ряда

У нас получилась рациональная функция по $n$, умноженная на $z$. То есть если отношение соседних членов функционального ряда по $z$ представляет собой рациональную функцию по номеру членов, умноженную на $z$, то этот функциональный ряд является гипергеометрической функцией.

Аналогично, если отношение соседних членов обычного числового ряда представляет собой рациональную функцию по номеру членов, то ряд является гипергеометрическим рядом.

Сразу скажу о способе упрощения выражений. Поскольку верхние индексы идут в числитель, а нижние в знаменатель, одинаковые числа можно сокращать. Например,

Давайте, чтобы не путаться с обозначениями и определениями, разберём несколько примеров.

Первый пример. Посмотрим на числовой ряд $\sum\limits_{n=0}^\oo t_n$, где

Это рациональная функция по номеру $n$. Значит, разложив числитель и знаменатель на множители, мы сможем найти параметры гипергеометрического ряда, который выражает исходный числовой ряд.

Тогда наш исходный ряд легко выражается через гипергеометрический ряд

Второй пример. Посмотрим на ряд $\sum\limits_{n=0}^\oo t_n$, где

Это рациональная функция по $n$, но подходит ли она под наше определение? Если рассматривать $z$ как аргумент гипергеометрической функции, то нет, она под свойство не подходит. Здесь $z$ входит линейно в числитель, и его нельзя выделить. Значит, $\sum\limits_{n=0}^\oo t_n$ не является гипергеометрической функцией по $z$. Тем не менее, этот ряд является гипергеометрическим рядом:

Теперь, выделив отдельно верхние и нижние параметры, получим, что

Ещё раз подчеркну, что это не гипергеометрическая функция от переменной $z$, а гипергеометрический ряд, то есть конкретное значение гипергеометрической функции в точке $1$. Здесь переменная $z$ присутствует в записи одного из параметров.

Третий пример. Рассмотрим разложение тангенса в ряд Тейлора вокруг нуля:

Попробуем вычислить отношение соседних ненулевых коэффициентов. Обозначим $u_n$ — коэффициент при $z^{2n-1}$, то есть Тогда отношение соседних коэффициентов равно

Асимптотически числа Бернулли растут как $|B_{2n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \, (n / \pi e)^{2n}$, и их отношение $B_{2n+2} / B_{2n}$ ведёт себя как $n^2$ при больших $n$. Но тут даже без асимптотики ясно, что отношение $u_{n+1}/u_n$ не является рациональной функцией от $n$, поскольку числа Бернулли не задаются рациональной рекурсией.

Следовательно, ряд для $\tan z$ не является гипергеометрическим рядом, поскольку отношение его коэффициентов не является рациональной функцией от номера. Это особенно примечательно, ведь $\tan z = \sin z / \cos z$, а обе функции в правой части гипергеометрические. Однако, как мы убедились только что, отношение гипергеометрических функций может и не является гипергеометрической функцией.

Четвёртый пример. А что там с синусом? Там всё гораздо лучше тангенса.

Обозначим $t_n$ — $n$-ый член ряда. Тогда отношение соседних коэффициентов равно

Тогда сам синус выражается как

Обратите внимание на то, что я вынес множитель $z$. При $z=0$ значение синуса равно $0$, а значение любого гипергеометрического ряда в точке $0$ равно $1$. После вынесения $z$ в разложении синуса я как раз получил ряд, значение которого в точке $0$ равно $1$, а значит приведение этого ряда к гипергеометрическому будет корректно.

Давайте посмотрим, как выглядит правило суммирования по диагонали для биномиальных коэффициентов в гипергеометрической форме

Для начала сделаем из конечной суммы бесконечную, заменив $k$ на $n-k$

Несмотря на то, что сумма формально бесконечная, она на самом деле конечная: множитель $1/(n-k)!$ равен $0$ при всех $k > n$. Подробно этот неестественный факт разобран в статье «Гамма-функция».

Посмотрим теперь на отношение соседних членов. Будьте внимательны: здесь индексной переменной является $k$, а не $n$.

При этом первый (свободный) член ряда равен $\binom{r+n}{n}$. Значит, исходная сумма превращается в гипергеометрический ряд

Тогда, подставляя значение суммы из правила суммирования по диагонали, получаем

И можно на поделить на биномиальный коэффициент, и получить чуть более приятную формулу

Давайте теперь получим явную формулу для одного частного случая гипергеометрической функции — функции с двумя верхними параметрами $a$, $b$ и одним нижним параметром $c$. Эта функция, на самом деле, исторически была первой ...

Посмотрим на свёртку Вандермонда

Сразу запишем это тождество в гипергеометрической форме. Отношение соседних членов равно

При этом первый (свободный) член равен $\binom{s}{n}$. Получаем, что

По тождеству свёртки Вандермонда левая часть равна $\binom{r+s}{n}$. Поэтому

Теперь, разделив обе части на $\binom{s}{n}$, получим выражение

Если заменить параметры $a = -r$, $b = -n$ и $c = s-n+1$, то можно получить более естественный вид гипергеометрической функции

Здесь предлагаю немного отвлечься и поговорить о сходимости и об обобщениях. Не знаю, как вам, но мне доставляет моральный дискомфорт полученная формула, ведь у нас там параметры $a$ и $c$ являются любыми комплексными числами, а параметр $b$ только отрицательным целым числом. Хочется какой-то полной симметрии. Давайте её получим.

Давайте узнаем, в каких случаях наш частный гипергеометрический ряд сходится. Итак, смотрим на гипергеометрический ряд

Вычислим на асимптотику коэффициента

Ряд $\sum\limits_{n=0}^\oo n^\alpha$ сходится при $\Re \alpha < -1$. А это значит, что наш гипергеометрический ряд сходится при

Далее нам нужно будет использовать частный случай интегрального представления Эйлера, которое мы в общем виде изучим позднее. А сейчас я просто покажу, как нужно проводить рассуждения. Заведём переменную $t \in [0, 1]$. Для этой переменной можно разложить выражение $(1-t)^{-a}$ в биномиальный ряд

Этот ряд сходится равномерно при всех значениях $t$, то есть то, что я дальше буду делать, законно. Теперь рассмотрим интеграл

Подставим вместо $(1-t)^{-a}$ наш ряд и поменяем знаки интегрирования и суммирования местами

С другой стороны, исходный интеграл можно сразу схлопнуть в бета-функцию

Приравняв два вида исходного интеграла, получаем выражение для гипергеометрической функции

У нас получилась то же самое, что получалось при рассмотрении свёртки Вандермонда, однако здесь больше нет требования целочисленности параметра $b$. Единственное требование на параметры, которое тут есть — гипергеометрический ряд должен сходиться, то есть $\Re c > \Re a + \Re b$.

При исследовании функций нам обычно интересны не только их конкретные значения, но и их рост, поведение при разных аргументах и так далее. На большинство интересующих нас вопросов могут ответить производные и дифференциальные уравнения, которые получаются из этих функций.

Давайте продифференцируем гипергеометрическую функцию

Получается, что при дифференцировании параметры выносятся и увеличиваются на $1$.